Question 1 sur 5Réponse écriteMoyenMathématiques
Développe et réduis l'expression (2x + 5)².
Écris l'expression développée, en utilisant ^ ou ² pour le carré.
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Tu apprends à développer avec les identités remarquables du carré d'un binôme et du produit de binômes conjugués, puis à faire le chemin inverse pour factoriser une expression algébrique.
Le carré d'une somme vaut (a + b)² = a² + 2ab + b². Le carré d'une différence vaut (a - b)² = a² - 2ab + b². Le produit de deux binômes conjugués vaut (a + b)(a - b) = a² - b². Dans les deux premières, le terme du milieu, appelé double produit, est celui que l'on oublie le plus souvent.
Un exemple
La famille cultive un champ carré de côté x mètres. Elle achète une bande de terre qui allonge chaque côté de 3 mètres. Le nouveau champ est un carré de côté x + 3, donc d'aire (x + 3)² = x² + 6x + 9. On lit directement ce que représente chaque terme : x² est l'ancien champ, 6x correspond aux deux bandes rectangulaires de 3 m de large ajoutées sur deux côtés, et 9 est le petit carré de 3 m sur 3 m qui ferme le coin. L'erreur consistant à écrire x² + 9 reviendrait à oublier les deux bandes, soit la plus grande partie du terrain gagné.
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche d'abord un facteur commun à tous les termes, puis on regarde si l'expression est le développement d'une identité remarquable. Ainsi 9x² - 6x + 1 se lit comme (3x)² - 2 x 3x x 1 + 1², donc comme (3x - 1)². Et x² - 49 se lit a² - b² avec a = x et b = 7, donc (x - 7)(x + 7).
Astuce
Avant d'affirmer qu'un trinôme est un carré parfait, vérifie les trois éléments : le premier terme est un carré, le dernier terme est un carré, et le terme du milieu vaut bien deux fois le produit des deux racines. Si ce dernier contrôle échoue, ce n'est pas une identité remarquable.
Attention
(a + b)² n'est jamais égal à a² + b². Teste avec des nombres : (2 + 3)² = 25, alors que 2² + 3² = 13. Le double produit 2ab, ici 12, fait toute la différence.
À retenir
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a - b)² = a² - 2ab + b² ; (a + b)(a - b) = a² - b². Développer va de la forme produit vers la forme somme, factoriser fait le trajet inverse.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 5
Écris l'expression développée, en utilisant ^ ou ² pour le carré.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, classe de 1re année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM3.7 Opérations sur les polynômes (développement, factorisation et identités remarquables)