Question 1 sur 6Réponse chiffréeFacileMathématiques
Calcule le discriminant de l'équation 3x^2 - 7x + 2 = 0.
Écris seulement la valeur du discriminant.
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Tu calcules le discriminant d'un trinôme, tu en déduis le nombre de racines, tu les calcules, puis tu utilises la somme et le produit des racines pour factoriser ou pour résoudre un problème concret.
Une équation du second degré s'écrit ax^2 + bx + c = 0 avec a différent de 0. On calcule d'abord le discriminant, noté delta, par delta = b^2 - 4ac. Si delta est strictement positif, il y a deux racines réelles distinctes. Si delta est nul, il y a une racine double. Si delta est strictement négatif, il n'y a aucune racine réelle.
Quand delta est positif ou nul, les racines valent x = (-b - racine de delta) divisé par 2a et x = (-b + racine de delta) divisé par 2a. Retiens que le dénominateur est 2a, et non 2 ni a. On dispose aussi de deux contrôles rapides : la somme des racines vaut -b/a et leur produit vaut c/a.
Un exemple
Une coopérative maraîchère de Kikwit clôture un champ rectangulaire de 120 m2 dont le périmètre mesure 46 m. La demi-somme du périmètre donne longueur + largeur = 23, et l'aire donne longueur x largeur = 120. Les deux dimensions sont donc les racines de x^2 - 23x + 120 = 0. Ici delta = 529 - 480 = 49, racine de delta = 7, et les racines sont (23 - 7)/2 = 8 et (23 + 7)/2 = 15. Le champ mesure 15 m sur 8 m, ce qui redonne bien 120 m2 et un périmètre de 46 m.
Astuce
Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, ils sont les racines de x^2 - Sx + P = 0. Cette équation est un raccourci précieux pour tous les problèmes de champ, de cour ou de partage de travail : tu écris directement le trinôme au lieu de poser un système.
Attention
Dans delta = b^2 - 4ac, si c est négatif, le terme -4ac devient positif et s'ajoute à b^2. Pour 2x^2 - 5x - 3 = 0, delta vaut 25 - 4 x 2 x (-3) = 25 + 24 = 49. Une erreur de signe à cet endroit fausse toute la résolution : écris toujours les parenthèses autour des nombres négatifs.
À retenir
Je calcule delta = b^2 - 4ac, je conclus sur le nombre de racines, puis j'applique x = (-b plus ou moins racine de delta) sur 2a. Je vérifie avec somme = -b/a et produit = c/a. Deux nombres de somme S et de produit P sont racines de x^2 - Sx + P = 0.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Écris seulement la valeur du discriminant.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 2e année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM4.7 Équations du 2e degré à une inconnue dans R