Question 1 sur 6Réponse chiffréeFacileMathématiques
Calcule la valeur exacte de 8^(1/3) x 81^(1/2).
Écris seulement le nombre obtenu.
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Tu passes de l'écriture avec un radical à l'écriture avec une puissance fractionnaire, et inversement. Tu apprends ensuite à simplifier, à additionner et à rationaliser des expressions contenant des racines.
Pour un réel a strictement positif, un naturel n supérieur ou égal à 2 et un entier m, on pose par définition que a exposant m sur n est égal à la racine n-ième de a puissance m. En abrégé : a^(m/n) = racine n-ième de (a^m). Les deux écritures désignent exactement le même nombre ; tu choisis celle qui rend le calcul le plus simple.
Les règles connues pour les exposants entiers restent valables pour les exposants rationnels, tant que la base est strictement positive : a^p x a^q = a^(p+q), a^p divisé par a^q = a^(p-q), (a^p)^q = a^(pq), (ab)^p = a^p x b^p. C'est justement l'intérêt de la notation fractionnaire : elle transforme un calcul sur des racines en une simple addition d'exposants.
Un exemple
La concession d'un collège de Kikwit est un carré de 40 m de côté. Sa diagonale vaut 40 x racine de 2, soit 40 x 2^(1/2), c'est-à-dire environ 56,57 m. Si l'on veut le rapport entre la diagonale et le côté, il vaut 2^(1/2), un nombre qui ne dépend pas de la taille du carré : tous les carrés du monde ont ce même rapport.
Astuce
Pour simplifier racine de 50, cherche le plus grand carré parfait qui divise 50 : c'est 25. Alors racine de 50 = racine de (25 x 2) = 5 x racine de 2. Tu ne peux additionner deux radicaux que lorsqu'ils ont le même radicande après cette simplification.
Attention
La racine carrée d'un nombre est toujours positive ou nulle. Donc racine de (a^2) vaut la valeur absolue de a, et non a. Pour a = -7, racine de 49 vaut 7 et non -7. L'oubli de la valeur absolue est l'erreur la plus fréquente à ce chapitre.
À retenir
a^(m/n) est la racine n-ième de a^m, pour a strictement positif. Les règles des exposants s'appliquent telles quelles. Racine de (a^2) vaut la valeur absolue de a. Pour rationaliser, je multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical du dénominateur.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Écris seulement le nombre obtenu.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 2e année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM4.2 Puissances et radicaux