Le calcul logarithmique

Tu apprends ce qu'est le logarithme d'un nombre dans une base donnée, tu utilises ses propriétés pour transformer un produit en somme, et tu changes de base pour résoudre une équation exponentielle.

3e année des humanités13 min de lecture6 exercices

À la fin, tu sauras

Passer de l'écriture exponentielle à l'écriture logarithmique, et réciproquement.
Appliquer les propriétés du logarithme d'un produit, d'un quotient et d'une puissance.
Utiliser la formule de changement de base pour calculer un logarithme.

Une définition qui renverse l'exponentielle

Soit a un réel strictement positif et différent de 1, et N un réel strictement positif. Le logarithme de N en base a, noté log a de N, est l'exposant qu'il faut donner à a pour obtenir N. Autrement dit, log a de N = y équivaut exactement à a puissance y = N. Quand la base vaut 10, on parle de logarithme décimal et on écrit simplement log N.

Les trois propriétés qui font tout le travail

Pour M et N strictement positifs : log(M x N) = log M + log N ; log(M / N) = log M - log N ; log(M puissance p) = p x log M. Ces règles transforment une multiplication en addition et une puissance en produit : c'est exactement pour cela que les logarithmes ont été inventés. On retient aussi que log a de 1 = 0 et log a de a = 1.

Changer de base

Toute calculatrice ne donne que le logarithme décimal et le logarithme népérien. Pour une autre base, on utilise la formule de changement de base : log a de N = log N divisé par log a. Ainsi log en base 2 de 10 vaut log 10 divisé par log 2, soit 1 divisé par 0,30103, c'est-à-dire environ 3,32.

Un exemple

Le placement d'une coopérative de Mbanza-Ngungu

Une coopérative de Mbanza-Ngungu place 1 500 000 FC à un taux de 6 pour cent par an. Au bout de n années, le capital vaut 1 500 000 x 1,06 puissance n. Pour savoir quand il aura doublé, on résout 1,06 puissance n = 2, soit n = log 2 divisé par log 1,06, c'est-à-dire 0,30103 divisé par 0,02531, soit environ 11,9. Il faut donc attendre 12 années complètes pour que le capital dépasse le double de la somme placée.

Attention

Le logarithme d'une somme ne se décompose pas

log(M + N) n'est jamais égal à log M + log N. La propriété d'addition concerne le logarithme d'un produit, pas celui d'une somme. De même, le logarithme n'existe que pour un argument strictement positif : log 0 et le logarithme d'un nombre négatif n'ont aucun sens dans les réels.

À retenir

log a de N = y équivaut à a puissance y = N. Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, celui d'un quotient est la différence, celui d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme. Changement de base : log a de N = log N sur log a.

À toi de jouer

Les exercices de la leçon

Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.

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Question 1 sur 6Réponse chiffréeFacileMathématiques

Un nombre N vérifie log en base 3 de N = 4. Quelle est la valeur de N ?

Écris seulement le nombre.

Choisis ta réponse pour continuer.

Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 3e année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM5.7 Calcul logarithmique

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