Question 1 sur 6Réponse chiffréeMoyenMathématiques
Soit f définie par f(x) = x au cube - 6x au carré + 5. Calcule f prime de 5.
Écris seulement le nombre.
Choisis ta réponse pour continuer.
Chargement de la leçon
Tu calcules la dérivée des fonctions usuelles, tu lis le sens de variation dans le signe de cette dérivée, puis tu appliques ces outils au coût moyen, au coût marginal et au profit d'une petite entreprise.
Le nombre dérivé de f en un point mesure la rapidité avec laquelle f varie autour de ce point. La fonction dérivée, notée f prime, associe à chaque x ce nombre. Les formules de base sont : la dérivée de x puissance n vaut n x puissance (n - 1), la dérivée d'une constante vaut 0, et la dérivée de 1 sur x vaut moins 1 sur x au carré.
Sur un intervalle où f prime est strictement positive, f est croissante. Là où f prime est strictement négative, f est décroissante. Un extremum, maximum ou minimum, se rencontre là où f prime s'annule en changeant de signe. C'est cette règle qui permet de résoudre tous les problèmes d'optimisation.
Un exemple
Un jeune d'Ilebo produit des caisses de jus de fruits. Son coût total pour x caisses vaut C(x) = x au carré + 4x + 36, en milliers de francs congolais. Le coût moyen par caisse est Q(x) = C(x) divisé par x, soit x + 4 + 36 sur x. Sa dérivée vaut 1 - 36 sur x au carré, qui s'annule pour x = 6. En produisant 6 caisses, le coût moyen par caisse atteint son minimum, à savoir 6 + 4 + 6 = 16 milliers de francs.
Astuce
Le coût moyen est Q(x) = C(x) / x. Le coût marginal est C prime de x : il indique ce que coûte, approximativement, la production d'une unité supplémentaire. Le profit est S(x) = R(x) - C(x), où R(x) est le revenu total ; il est maximal là où S prime s'annule en passant du positif au négatif.
Attention
Une dérivée peut s'annuler sans qu'il y ait d'extremum, comme pour f(x) = x au cube en 0. Il faut toujours vérifier que la dérivée change bien de signe de part et d'autre du point trouvé, ou contrôler le signe de la dérivée seconde : négative pour un maximum, positive pour un minimum.
À retenir
Dérivée de x puissance n : n x puissance (n - 1). Dérivée d'une constante : 0. f prime positive : f croissante. f prime négative : f décroissante. Coût moyen C(x)/x, coût marginal C prime de x, profit R(x) - C(x) maximal là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Écris seulement le nombre.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 3e année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrices MM5.15 Fonctions dérivées et MM5.17 Applications de la dérivée