Tu distingues une suite dont on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre d'une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre, puis tu calcules un terme de rang quelconque et la somme des premiers termes.
Une suite est arithmétique de raison r lorsque chaque terme s'obtient en ajoutant r au précédent. Elle est géométrique de raison q lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par q. Le test est immédiat : si la différence entre deux termes consécutifs est constante, la suite est arithmétique ; si c'est leur quotient qui est constant, elle est géométrique.
Pour une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r : Un = U1 + (n - 1) x r, et la somme des n premiers termes vaut Sn = n x (U1 + Un) divisé par 2. Pour une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q différente de 1 : Un = U1 x q puissance (n - 1), et Sn = U1 x (1 - q puissance n) divisé par (1 - q).
Un exemple
Une cimenterie du Kongo Central produit 350 tonnes de ciment gris la première année, et augmente cette production de 28 tonnes chaque année : c'est une suite arithmétique de raison 28. La sixième année, elle produira 350 + 5 x 28 = 490 tonnes. Sa production de ciment blanc, elle, part de 200 tonnes et croît de 5 pour cent par an : c'est une suite géométrique de raison 1,05. La quatrième année, elle atteindra 200 x 1,05 au cube, soit environ 232 tonnes.
Astuce
Pour aller du premier terme au terme de rang n, on effectue n - 1 pas, et non n. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Vérifie toujours sur un cas simple : pour n = 1, la formule U1 + (n - 1) x r doit bien redonner U1, ce qui est le cas puisque le facteur (1 - 1) vaut 0.
Attention
Diminuer de 8 pour cent chaque année, c'est multiplier chaque année par 0,92. La suite reste géométrique, avec une raison comprise entre 0 et 1, donc décroissante. L'erreur serait de soustraire 8 pour cent de la valeur de départ à chaque étape, ce qui reviendrait à confondre une évolution en pourcentage avec une suite arithmétique.
À retenir
Différence constante : suite arithmétique, Un = U1 + (n - 1) r. Quotient constant : suite géométrique, Un = U1 x q puissance (n - 1). Somme arithmétique : Sn = n (U1 + Un) / 2. Une variation en pourcentage produit toujours une suite géométrique.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Écris seulement le nombre de tonnes.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 3e année des humanités scientifiques, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM5.8 Suites numériques