Question 1 sur 7Choix multipleFacileMathématiques
Quelle est la formule correcte de cos(a + b) ?
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Tu apprends à calculer le cosinus et le sinus d'une somme ou d'une différence d'angles, puis d'un angle double. Ces formules te permettent de trouver la valeur exacte de cos 75° ou de sin 15° à partir des angles que tu connais déjà.
Un menuisier de Bukavu fabrique une charpente dont une pièce fait un angle de 75° avec le sol. Il connaît par coeur les valeurs pour 30°, 45° et 60°, mais pas pour 75°. Or 75° = 45° + 30°. Les formules d'addition permettent justement de calculer le cosinus ou le sinus d'une somme d'angles à partir des cosinus et sinus de chaque angle.
Pour tous angles a et b : cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b ; cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b ; sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ; sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b. Rappel des valeurs utiles : cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2, cos 45° = sin 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2.
Un exemple
On écrit 75° = 45° + 30°. Puis cos 75° = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4. Avec la calculatrice : √6 ≈ 2,4495 et √2 ≈ 1,4142, donc cos 75° ≈ (2,4495 - 1,4142)/4 = 1,0353/4 ≈ 0,2588. On vérifie que le résultat est entre 0 et 1, ce qui est normal pour un angle aigu.
En prenant b = a dans les formules d'addition, on obtient les formules de duplication (« duplication » veut dire « doubler ») : sin 2a = 2 sin a cos a et cos 2a = cos²a - sin²a. Comme cos²a + sin²a = 1, on peut aussi écrire cos 2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a. On choisit la forme qui utilise la donnée de l'énoncé.
Astuce
Pour le sinus, le signe de la formule suit celui de l'angle : sin(a + b) contient un +, sin(a - b) contient un -. Pour le cosinus, c'est l'inverse : cos(a + b) contient un -, cos(a - b) contient un +. Le sinus « mélange » sin et cos ; le cosinus « range » cos avec cos et sin avec sin.
Attention
L'erreur la plus courante est d'écrire cos(45° + 30°) = cos 45° + cos 30°. C'est faux : cela donnerait environ 0,707 + 0,866 = 1,573, qui est plus grand que 1, alors qu'un cosinus est toujours compris entre -1 et 1. De même, sin 2a n'est pas égal à 2 sin a.
À retenir
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b et sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b. Duplication : sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a. Pour un angle inconnu, décompose-le en somme ou différence d'angles connus.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
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