Question 1 sur 7Choix multipleFacileMathématiques
Quel est le signe du trinôme x² + x + 1 ?
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Tu apprends à trouver le signe d'un trinôme ax² + bx + c grâce à son discriminant et au signe de a, puis à résoudre une inéquation du second degré en lisant un tableau de signes.
Mama Néné vend des cartons de savon au marché de la Liberté, à Kinshasa. Son bénéfice, en milliers de francs, est B(x) = -x² + 12x - 20, où x est le nombre de cartons vendus dans la journée. Elle veut savoir pour quelles valeurs de x elle gagne de l'argent, c'est-à-dire quand B(x) > 0. C'est une inéquation du second degré : une inégalité (avec <, >, ≤ ou ≥) qui contient un trinôme, c'est-à-dire une expression de la forme ax² + bx + c avec a différent de 0.
On calcule d'abord le discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, le trinôme a deux racines x₁ et x₂ (les valeurs qui l'annulent) : il a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire de a entre les racines. Si Δ = 0, il a le signe de a partout, sauf à la racine double où il vaut 0. Si Δ < 0, il n'a aucune racine et il a le signe de a pour toutes les valeurs de x.
Un exemple
Étape 1 : on repère a = 1, b = -5, c = 6. Étape 2 : Δ = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1, donc √Δ = 1. Étape 3 : les racines sont x₁ = (5 - 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3. Étape 4 : a = 1 est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur de [2 ; 3] et négatif entre 2 et 3. Étape 5 : on veut ≤ 0, on garde donc l'intervalle entre les racines, racines comprises (car le trinôme y vaut 0). Ensemble des solutions : S = [2 ; 3].
Un exemple
Pour B(x) = -x² + 12x - 20 : Δ = 12² - 4 × (-1) × (-20) = 144 - 80 = 64, donc √Δ = 8. Les racines sont (-12 + 8)/(-2) = 2 et (-12 - 8)/(-2) = 10. Ici a = -1 est négatif : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Donc B(x) > 0 pour 2 < x < 10. Mama Néné gagne de l'argent si elle vend entre 3 et 9 cartons.
Astuce
Retiens : « signe de a à l'extérieur, signe contraire à l'intérieur ». Tu peux aussi imaginer la parabole : si a > 0, elle sourit (branches vers le haut) et passe sous l'axe seulement entre les racines ; si a < 0, elle fait la moue (branches vers le bas) et ne passe au-dessus de l'axe qu'entre les racines.
Attention
Avec < ou >, les racines ne sont pas solutions : les crochets sont ouverts, par exemple ]2 ; 3[. Avec ≤ ou ≥, les racines sont solutions : les crochets sont fermés, par exemple [2 ; 3]. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. Autre piège : ne jamais diviser une inéquation par x, car tu ne connais pas son signe.
À retenir
Pour résoudre une inéquation du second degré : calcule Δ, trouve les racines, puis applique la règle « signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles ». Si Δ < 0, le trinôme garde le signe de a partout. Fais attention aux crochets.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
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