Question 1 sur 7Choix multipleFacileMathématiques
Quelle est la nature de la suite 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ?
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Tu apprends à reconnaître une suite arithmétique (on ajoute toujours le même nombre) et une suite géométrique (on multiplie toujours par le même nombre), à calculer n'importe quel terme et la somme des premiers termes.
Tantine Ange met 1 000 francs dans sa tirelire la première semaine, puis chaque semaine 500 francs de plus que la semaine précédente : 1 000, 1 500, 2 000, 2 500... Cette liste de nombres rangés dans un ordre s'appelle une suite. Chaque nombre est un terme, et sa place est son rang. On note u₁ le premier terme, u₂ le deuxième, et uₙ le terme de rang n.
Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r. Le terme général est uₙ = u₁ + (n - 1)r. La somme des n premiers termes est Sₙ = n × (u₁ + uₙ)/2 : le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
Un exemple
Ici u₁ = 1 000 et r = 500. La 12e semaine, elle dépose u₁₂ = 1 000 + (12 - 1) × 500 = 1 000 + 5 500 = 6 500 francs. Au total, après 12 semaines, elle a épargné S₁₂ = 12 × (1 000 + 6 500)/2 = 12 × 3 750 = 45 000 francs.
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé aussi la raison : uₙ₊₁ = uₙ × q. Le terme général est uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹. Pour q différent de 1, la somme des n premiers termes est Sₙ = u₁ × (qⁿ - 1)/(q - 1).
Un exemple
Une nouvelle est connue de 5 personnes le premier jour, puis chaque jour le nombre de nouvelles personnes informées est multiplié par 3 : 5, 15, 45, 135. C'est une suite géométrique avec u₁ = 5 et q = 3. Le 4e jour : u₄ = 5 × 3³ = 5 × 27 = 135. En 4 jours, S₄ = 5 × (3⁴ - 1)/(3 - 1) = 5 × 80/2 = 200 personnes. Vérification : 5 + 15 + 45 + 135 = 200.
Astuce
Pour savoir quel type de suite tu as devant toi, calcule les différences u₂ - u₁, u₃ - u₂... Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique. Sinon, calcule les quotients u₂/u₁, u₃/u₂... S'ils sont tous égaux, elle est géométrique. Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre.
Attention
Entre u₁ et uₙ, il y a seulement n - 1 « sauts ». Par exemple, pour aller de u₁ à u₁₀, on ajoute 9 fois la raison, pas 10 fois. C'est pourquoi la formule contient (n - 1) et non n. Si ton cours commence au rang 0 (u₀), la formule devient uₙ = u₀ + nr : regarde toujours quel est le premier rang.
À retenir
Arithmétique : uₙ = u₁ + (n - 1)r et Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2. Géométrique : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ et Sₙ = u₁(qⁿ - 1)/(q - 1). Différences égales : arithmétique ; quotients égaux : géométrique.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
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