Tu apprends à compter des possibilités sans les écrire une par une : le principe multiplicatif, les permutations, les arrangements et les combinaisons, et surtout la question qui permet de choisir la bonne formule.
Dans un petit restaurant de Goma, le menu propose 3 entrées et 4 plats. Combien de repas différents peut-on composer avec une entrée et un plat ? Pour chacune des 3 entrées, on a 4 plats possibles : 3 × 4 = 12 repas. C'est le principe multiplicatif : quand on fait plusieurs choix successifs et indépendants, on multiplie les nombres de possibilités de chaque choix.
Ranger n objets différents dans un ordre s'appelle une permutation. Pour la première place, on a n choix ; pour la deuxième, n - 1 ; et ainsi de suite jusqu'à 1. Le nombre de permutations est donc n × (n - 1) × ... × 2 × 1. Ce produit s'appelle factorielle n et se note n!. Exemples : 3! = 3 × 2 × 1 = 6 et 4! = 24. Par convention, 0! = 1.
On choisit p objets parmi n. Si l'ordre du choix compte (une première place, une deuxième place...), on parle d'arrangement : A(n, p) = n × (n - 1) × ... avec p facteurs, ce qui revient à n! / (n - p)!. Si l'ordre ne compte pas (on forme seulement un groupe), on parle de combinaison : C(n, p) = A(n, p) / p! = n! / (p! (n - p)!). On divise par p! parce que chaque groupe de p personnes a été compté p! fois, une fois pour chaque ordre possible.
Un exemple
Une classe de 10 élèves élit un président, un secrétaire et un trésorier. Les postes sont différents, donc l'ordre compte : A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 bureaux possibles. Si la classe choisit seulement 3 délégués sans poste particulier, l'ordre ne compte plus : C(10, 3) = 720 / 3! = 720 / 6 = 120 groupes possibles. Même trois élèves, mais deux questions différentes, donc deux réponses différentes.
Astuce
Pose-toi cette question : « si j'échange deux éléments choisis, est-ce que j'obtiens un résultat différent ? » Si oui (podium, mot de passe, bureau avec postes), l'ordre compte : arrangement. Si non (équipe, délégation, poignée de main), l'ordre ne compte pas : combinaison. Et si on utilise tous les objets, c'est une permutation.
Attention
L'erreur la plus fréquente est de calculer un arrangement quand on demande un groupe. Pour une équipe, Aline puis Benoît, c'est la même équipe que Benoît puis Aline : il faut diviser par p!. Retiens aussi que C(n, p) = C(n, n - p) : choisir les 2 élèves qui restent revient à choisir les 18 qui partent dans une classe de 20.
À retenir
Choix successifs : on multiplie. n! = n × (n - 1) × ... × 1 et 0! = 1. Ordre qui compte : A(n, p) = n! / (n - p)!. Ordre qui ne compte pas : C(n, p) = n! / (p! (n - p)!).
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
Écris seulement le nombre.