Question 1 sur 6Réponse chiffréeFacileMathématiques
Calcule la limite de f(x) = 2x² - x + 1 quand x tend vers 3.
Écris seulement le nombre.
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Tu apprends ce que veut dire « f(x) tend vers un nombre », tu calcules des limites en un point et à l'infini, tu lèves la forme indéterminée 0/0 en factorisant, et tu en déduis les asymptotes de la courbe.
Une boulangerie de Kisangani paie chaque jour 50 000 FC de frais fixes (loyer, salaire du gardien), plus 200 FC de farine et de bois par pain. Si elle fabrique x pains, chaque pain lui revient en moyenne à C(x) = (200x + 50 000) / x. Pour 100 pains, C = 700 FC ; pour 1 000 pains, C = 250 FC ; pour 10 000 pains, C = 205 FC. Plus x grandit, plus C(x) se rapproche de 200 FC, sans jamais l'atteindre. On dit que C(x) tend vers 200 quand x tend vers plus l'infini, et on écrit lim C(x) = 200 quand x → +∞. Une limite, c'est donc la valeur dont f(x) s'approche autant qu'on veut.
Si la fonction est un polynôme, ou une fraction dont le dénominateur ne s'annule pas en a, la limite quand x tend vers a est simplement f(a). Exemple : lim (x² + 3x) quand x → 2 vaut 4 + 6 = 10. Le travail commence quand le remplacement donne 0/0. Cette écriture s'appelle une forme indéterminée : elle ne veut rien dire tant qu'on n'a pas transformé l'expression. Le plus souvent, le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun (x - a) qu'il faut faire apparaître puis simplifier.
Un exemple
Calculons lim (x² - 4) / (x - 2) quand x → 2. Étape 1 : on remplace. Le numérateur vaut 2² - 4 = 0 et le dénominateur 2 - 2 = 0 : forme 0/0. Étape 2 : on factorise. x² - 4 est une différence de deux carrés : x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Étape 3 : on simplifie par (x - 2), ce qui est permis car x s'approche de 2 sans lui être égal : (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2. Étape 4 : on remplace à nouveau : 2 + 2 = 4. Conclusion : la limite vaut 4.
Quand x devient très grand, seuls les termes de plus haut degré comptent : les autres deviennent négligeables. Pour une fraction rationnelle (un quotient de deux polynômes, comme (3x² + 1) / (x² - 5)), on garde donc le terme de plus haut degré du numérateur et celui du dénominateur, puis on simplifie. Exemple : lim (3x² + 1) / (x² - 5) quand x → +∞ = lim 3x² / x² = 3. Si le degré du haut est plus petit que celui du bas, la limite est 0 ; s'il est plus grand, la limite est infinie.
Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche autant qu'on veut, quand x s'éloigne vers l'infini ou s'approche d'une valeur interdite. Si lim f(x) = L quand x → +∞ (ou -∞), la droite d'équation y = L est une asymptote horizontale. Si f(x) devient infiniment grand quand x s'approche de a, la droite d'équation x = a est une asymptote verticale. Pour la boulangerie, y = 200 est une asymptote horizontale de la courbe du coût moyen.
Astuce
Devant une limite en un point a, remplace d'abord x par a. Si tu obtiens un nombre, c'est fini. Si tu obtiens 0/0, factorise et simplifie par (x - a). Si tu obtiens un nombre non nul divisé par 0, la limite est infinie et x = a est une asymptote verticale.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'écrire « 0/0 = 0 » ou « 0/0 = 1 ». La forme 0/0 n'est pas un résultat : c'est un signal qui dit « transforme l'expression ». La limite peut finalement valoir 4, -1, 0 ou n'importe quel autre nombre. Même chose pour la forme ∞/∞ à l'infini : on la lève en gardant les termes de plus haut degré.
À retenir
En un point, on remplace d'abord ; si on trouve 0/0, on factorise et on simplifie. À l'infini, une fraction rationnelle se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré. lim f(x) = L à l'infini donne l'asymptote horizontale y = L ; une limite infinie en a donne l'asymptote verticale x = a.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Écris seulement le nombre.