Question 1 sur 6Réponse chiffréeFacileMathématiques
Soit le nombre complexe z = 3 + 4i. Calcule son module |z|.
Donne seulement la valeur du module.
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Tu passes de la forme algébrique z = a + ib à la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ), et tu utilises la règle du produit et la formule de Moivre pour calculer vite des produits, des quotients et des puissances.
Tout nombre complexe s'écrit sous forme algébrique z = a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Dans le plan de Gauss, z est l'affixe du point M de coordonnées (a ; b). La distance OM s'appelle le module de z, noté |z|, et se calcule par |z| = √(a² + b²). L'angle orienté formé par l'axe des réels et le vecteur OM s'appelle un argument de z, noté arg(z).
Pose r = |z| et θ = arg(z). Comme a = r cos θ et b = r sin θ, on obtient z = r(cos θ + i sin θ) : c'est la forme trigonométrique. Pour trouver θ, calcule d'abord r, puis résous ensemble les deux égalités cos θ = a/r et sin θ = b/r. Les deux conditions prises en même temps désignent un seul angle ; le cosinus seul en laisserait deux possibles.
Un exemple
Un géomètre place l'origine O de son repère au pied du pont de Matadi, sur le fleuve Congo. Il repère une borne située à 3 km vers l'est et 4 km vers le nord : elle a pour affixe z = 3 + 4i. Le module |z| = √(3² + 4²) = √25 = 5 lui donne tout de suite la distance à parcourir, soit 5 km, et l'argument de z lui donne la direction à suivre.
Astuce
Dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent : |z₁ z₂| = |z₁| × |z₂| et arg(z₁ z₂) = arg(z₁) + arg(z₂). Dans un quotient, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Pour une puissance, la formule de Moivre donne zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
Attention
Le module est une distance : il est toujours positif ou nul, et il ne vaut 0 que pour z = 0. L'erreur la plus fréquente est d'écrire |z| = a + b ou d'oublier la racine carrée. Retiens aussi que |z̄| = |z| : le conjugué est le symétrique de z par rapport à l'axe des réels, donc il est à la même distance de O.
À retenir
|z| = √(a² + b²) ; z = r(cos θ + i sin θ) avec cos θ = a/r et sin θ = b/r ; les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent dans un produit ; Moivre : zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Donne seulement la valeur du module.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 4e année des humanités scientifiques, 1re édition, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM6.2 Représentations des nombres complexes