Question 1 sur 6Choix multipleFacileMathématiques
Quel est le domaine de définition de la fonction f(x) = ln(2x - 6) ?
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Tu manipules les fonctions ln et exp, tu utilises les règles de calcul sur les logarithmes et tu résous des équations logarithmiques et exponentielles en posant d'abord les conditions d'existence.
La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0 ; +∞[ et la fonction exponentielle exp est définie sur R tout entier. Elles sont réciproques : pour tout x > 0, e^(ln x) = x, et pour tout réel x, ln(e^x) = x. Autrement dit, y = ln x équivaut à x = e^y. Le nombre e vaut environ 2,718. En base a, on note log_a et on a log_a x = ln x / ln a.
Pour a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a - ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln 1 = 0 ; ln e = 1. Du côté de l'exponentielle : e^(x+y) = e^x × e^y ; e^(x-y) = e^x / e^y ; (e^x)ⁿ = e^(nx). Ces règles transforment une multiplication en addition : c'est exactement ce qui rend le logarithme utile dans les échelles de mesure.
Un exemple
Le maire de Kolwezi, dans le Lualaba, veut limiter l'intensité sonore des bars à i = 40 décibels. L'intensité est donnée par i = 10 log(p/p₀), où p est la puissance du son et p₀ = 0,1 la puissance de référence. On écrit 40 = 10 log(p/0,1), donc log(p/0,1) = 4, donc p/0,1 = 10⁴ = 10 000, et enfin p = 0,1 × 10 000 = 1 000. La puissance à ne pas dépasser est de 1 000 unités.
Astuce
Avant de résoudre une équation contenant ln(u(x)), écris u(x) > 0 et garde cette condition de côté. À la fin, tu élimines les valeurs trouvées qui ne la respectent pas. Cette discipline évite la faute la plus coûteuse de l'examen d'État : proposer une racine qui n'appartient pas au domaine.
Attention
Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme. ln(a + b) ne se simplifie pas. De même, e^(x) + e^(y) n'est pas e^(x+y). Et souviens-toi que e^x est strictement positif pour tout x : une équation comme e^x = -2 n'a donc aucune solution dans R.
À retenir
ln est définie sur ]0 ; +∞[, exp sur R, et elles sont réciproques. ln(ab) = ln a + ln b, ln(aⁿ) = n ln a. Toute équation logarithmique commence par les conditions d'existence et se termine par leur vérification. e^x > 0 toujours.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Choisis la seule bonne réponse.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 4e année des humanités scientifiques, 1re édition, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrices MM6.4 Fonctions logarithmiques et exponentielles et MM6.6 Équations logarithmiques et exponentielles