Question 1 sur 6Choix multipleFacileMathématiques
Quelle est la primitive générale de la fonction f(x) = 3x² + 2x sur R ?
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Tu apprends à remonter d'une fonction à sa primitive, puis à utiliser cette primitive pour calculer une intégrale définie et l'aire sous une courbe.
Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F'(x) = f(x) pour tout x de I. Une fonction continue sur un intervalle admet toujours des primitives, et deux primitives d'une même fonction sur le même intervalle diffèrent seulement d'une constante. On écrit donc ∫ f(x) dx = F(x) + C, où C est une constante réelle quelconque.
Pour n différent de -1, une primitive de xⁿ est x^(n+1)/(n+1). Pour n = -1, c'est-à-dire pour f(x) = 1/x, la primitive est ln|x|. Une primitive de e^x est e^x, une primitive de cos x est sin x, une primitive de sin x est -cos x. Enfin, une primitive de u'/u est ln|u|. L'intégration est linéaire : la primitive d'une somme est la somme des primitives, et une constante multiplicative se conserve.
Un exemple
Dans une coopérative agricole de Kikwit, au Kwilu, la masse M de manioc récoltée depuis le début de la campagne varie au taux M'(t) = 6√t tonnes par semaine, où t est le nombre de semaines écoulées. Comme √t = t^(1/2), une primitive de 6t^(1/2) est 6 × t^(3/2)/(3/2) = 4t^(3/2). Au bout de 9 semaines, la récolte cumulée vaut donc 4 × 9^(3/2) = 4 × 27 = 108 tonnes.
Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l'intégrale définie de f entre a et b vaut F(b) - F(a). On note ce calcul entre crochets : [F(x)] de a à b. La constante C disparaît toujours, puisqu'elle s'élimine dans la soustraction. Lorsque f est positive sur [a ; b], ce nombre est exactement l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Attention
Dans une intégrale indéfinie, oublier le « + C » coûte des points : la réponse n'est pas une fonction mais une famille de fonctions. Dans une intégrale définie, c'est l'ordre des bornes qui compte : on calcule toujours F(borne du haut) moins F(borne du bas). Inverser les deux change le signe du résultat.
À retenir
F est une primitive de f si F' = f. Primitive de xⁿ : x^(n+1)/(n+1) pour n ≠ -1, et ln|x| pour 1/x. Intégrale définie : ∫ de a à b de f(x) dx = F(b) - F(a). Si f ≥ 0, ce nombre est l'aire sous la courbe.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 6
Choisis la seule bonne réponse.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 4e année des humanités scientifiques, 1re édition, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrices MM6.11 Primitives d'une fonction et MM6.12 Intégration des fonctions numériques