Question 1 sur 7Réponse chiffréeFacileMathématiques
Calcule 5! (factorielle 5).
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Tu apprends à compter sans tout écrire : le principe multiplicatif, la factorielle, les permutations, les arrangements et les combinaisons. Tu sais choisir la bonne formule en te demandant si l'ordre compte et si on peut répéter.
Tu as 3 chemises et 4 pantalons propres pour aller à l'école. Avec chaque chemise, tu peux mettre n'importe lequel des 4 pantalons : cela fait 3 × 4 = 12 tenues différentes. C'est le principe multiplicatif : si un premier choix peut se faire de n façons et un second choix de p façons, les deux choix ensemble peuvent se faire de n × p façons. L'analyse combinatoire est la partie des mathématiques qui compte ainsi les possibilités sans les écrire une à une.
La factorielle de n, notée n! (on lit « factorielle n »), est le produit de tous les entiers de 1 à n : 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Par convention, 0! = 1. Une permutation est une façon de ranger n objets tous différents dans un certain ordre. Le nombre de permutations de n objets vaut n! : pour ranger 4 cahiers sur une étagère, tu as 4 choix pour la première place, 3 pour la deuxième, 2 pour la troisième et 1 pour la dernière, soit 24 rangements.
On choisit p objets parmi n, sans répétition. Si l'ordre du choix compte, on parle d'arrangement et on calcule A(n, p) = n × (n - 1) × ... avec p facteurs, c'est-à-dire n!/(n - p)!. Si l'ordre ne compte pas, on parle de combinaison : on calcule C(n, p) = n!/[p! × (n - p)!], c'est-à-dire A(n, p) divisé par p!. On divise par p! parce que chaque groupe de p objets a été compté p! fois dans les arrangements, une fois pour chaque ordre.
Un exemple
Un club compte 10 élèves. Situation 1 : on élit un président, un secrétaire et un trésorier. Les postes sont différents, donc l'ordre compte : A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 bureaux possibles. Situation 2 : on désigne 3 élèves pour représenter le club à une réunion, sans poste particulier. L'ordre ne compte plus : C(10, 3) = 720/3! = 720/6 = 120 groupes possibles. Même nombre de personnes choisies, mais deux réponses différentes, car la question n'est pas la même.
Astuce
Première question : peut-on choisir deux fois le même objet ? Si oui, comme pour les chiffres d'un code, le nombre de listes est n puissance p. Si non, pose la seconde question : si j'échange deux éléments choisis, est-ce que j'obtiens une situation différente ? Si oui, l'ordre compte, c'est un arrangement. Si non, c'est une combinaison.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'utiliser A(n, p) pour former un simple groupe, ce qui compte chaque groupe plusieurs fois. Un comité de 3 personnes sans poste, une main de cartes ou une poignée de mangues sont des combinaisons. Un podium, un bureau avec des postes ou un mot de passe sont des situations où l'ordre compte. Pense aussi à la symétrie C(n, p) = C(n, n - p) : choisir 3 élèves qui partent revient à choisir les 7 qui restent.
À retenir
Principe multiplicatif : n choix puis p choix donnent n × p possibilités. n! compte les rangements de n objets. Sans répétition : l'ordre compte, A(n, p) = n!/(n - p)! ; l'ordre ne compte pas, C(n, p) = n!/[p!(n - p)!]. Avec répétition et ordre : n puissance p.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
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