Question 1 sur 7Réponse chiffréeFacileMathématiques
Calcule la limite de f(x) = 2x² - 5 quand x tend vers 3.
Donne seulement la valeur de la limite.
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Tu apprends ce que signifie la limite d'une fonction, tu reconnais les formes indéterminées comme 0/0 ou ∞/∞ et tu sais les lever par factorisation, par les termes de plus haut degré ou par le conjugué. Tu en déduis les asymptotes d'une courbe.
Une boulangerie de Kinshasa calcule son coût moyen par pain : plus elle fabrique de pains, plus ce coût baisse, mais il ne descend jamais sous le prix de la farine d'un pain. Ce prix plancher est une limite. En mathématiques, dire que f(x) a pour limite L quand x tend vers a, c'est dire que f(x) devient aussi proche de L qu'on veut dès que x est assez proche de a. On écrit lim f(x) = L quand x → a. L'expression « tend vers » veut dire « s'approche de plus en plus de ».
Pour un polynôme, ou pour une fraction dont le dénominateur ne s'annule pas en a, il suffit de remplacer x par a. Par exemple, la limite de x² + 3x quand x tend vers 2 vaut 4 + 6 = 10. Le problème apparaît quand le remplacement donne une écriture qui ne permet pas de conclure, comme 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞ ou 0 × ∞. On les appelle des formes indéterminées : « indéterminée » veut dire que la forme seule ne dit pas le résultat. Il faut alors transformer l'expression.
Un exemple
Cherchons la limite de (x² - 4)/(x - 2) quand x tend vers 2. Étape 1 : on remplace, on obtient (4 - 4)/(2 - 2) = 0/0, forme indéterminée. Étape 2 : on factorise le numérateur avec l'identité a² - b² = (a - b)(a + b) : x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Étape 3 : pour x différent de 2, on simplifie par (x - 2) et il reste x + 2. Étape 4 : on remplace maintenant x par 2 : 2 + 2 = 4. La limite vaut 4. Retiens l'idée : un 0/0 en a cache presque toujours un facteur (x - a) en haut et en bas.
Un exemple
Cherchons la limite de (3x² + x)/(x² - 5) quand x tend vers +∞. Le numérateur et le dénominateur deviennent tous les deux immenses : forme ∞/∞. En l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, car les autres termes deviennent négligeables. On garde donc 3x² en haut et x² en bas : 3x²/x² = 3. La limite vaut 3. Vérifie avec x = 1 000 : (3 000 000 + 1 000)/(1 000 000 - 5) ≈ 3,001, ce qui est bien très proche de 3.
Astuce
Compare le degré du numérateur et celui du dénominateur. Degré du haut plus petit : la limite vaut 0. Degrés égaux : la limite est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré. Degré du haut plus grand : la limite est +∞ ou -∞, selon les signes. Pour une racine carrée qui donne 0/0 ou ∞ - ∞, multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée : le conjugué de √A - B est √A + B.
Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche de plus en plus sans forcément la toucher. Si la limite de f(x) quand x tend vers +∞ ou -∞ vaut un nombre b, la droite y = b est une asymptote horizontale. Si f(x) devient infiniment grand quand x tend vers un nombre a, souvent une valeur qui annule le dénominateur, la droite x = a est une asymptote verticale.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'écrire 0/0 = 0 ou 0/0 = 1 : c'est faux, il faut transformer l'expression. À l'inverse, un nombre non nul divisé par un nombre qui tend vers 0, comme 5/0, n'est pas une forme indéterminée : le résultat est infini, et il faut seulement étudier le signe du dénominateur pour savoir si c'est +∞ ou -∞.
À retenir
On commence toujours par remplacer. Les formes 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞ et 0 × ∞ sont indéterminées : on factorise, on garde les termes de plus haut degré ou on utilise le conjugué. Une limite finie b en l'infini donne l'asymptote y = b ; une limite infinie en a donne l'asymptote x = a.
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
Donne seulement la valeur de la limite.