Question 1 sur 7Réponse chiffréeFacileMathématiques
On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Donne la probabilité sous forme décimale.
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Tu revois le calcul d'une probabilité, puis tu apprends à calculer la probabilité d'un événement contraire, d'une réunion, d'une probabilité conditionnelle « sachant que » et à reconnaître deux événements indépendants.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles mais pas celui qui va sortir, comme lancer un dé. Un événement est un ensemble de résultats, par exemple « obtenir un nombre pair ». Quand tous les résultats ont la même chance de sortir, on dit qu'il y a équiprobabilité, et p(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
L'événement contraire de A, noté Ā (on lit « A barre »), se réalise quand A ne se réalise pas : p(Ā) = 1 - p(A). L'événement « A ou B » se réalise quand au moins un des deux se réalise : p(A ou B) = p(A) + p(B) - p(A et B). On retire p(A et B) parce que les résultats communs aux deux événements ont été comptés deux fois dans la somme.
Parfois, on dispose d'une information : on sait déjà que B s'est réalisé. La probabilité de A sachant B, notée p(A sachant B) ou p_B(A), se calcule par p(A et B)/p(B). Concrètement, on ne regarde plus toute la population, mais seulement la partie où B est vrai. Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire quand p(A et B) = p(A) × p(B).
Un exemple
Une classe compte 40 élèves : 24 filles et 16 garçons. À l'examen, 18 filles et 10 garçons ont réussi, soit 28 réussites. On choisit un élève au hasard. p(F) = 24/40 = 0,6 ; p(R) = 28/40 = 0,7 ; p(R et F) = 18/40 = 0,45. La probabilité qu'un élève réussisse sachant que c'est une fille vaut p(R sachant F) = 0,45/0,6 = 0,75. On retrouve ce résultat directement : parmi les 24 filles, 18 ont réussi, et 18/24 = 0,75. Comme p(F) × p(R) = 0,6 × 0,7 = 0,42 est différent de 0,45, les événements F et R ne sont pas indépendants.
Astuce
Dès que tu lis « sachant que », « parmi les » ou « si l'on sait que », c'est une probabilité conditionnelle. Avec un tableau, c'est simple : tu ne gardes que la ligne ou la colonne de la condition, et tu divises par le total de cette ligne ou colonne, pas par le total général.
Attention
Dans l'exemple, p(R sachant F) = 18/24 = 0,75, mais p(F sachant R) = 18/28 ≈ 0,64 : la probabilité d'avoir réussi parmi les filles n'est pas la probabilité d'être une fille parmi ceux qui ont réussi. Autre erreur fréquente : croire que deux événements incompatibles (qui ne peuvent pas arriver ensemble), de probabilités non nulles, sont indépendants. C'est le contraire : si A arrive, B devient impossible, donc A influence fortement B.
À retenir
p(Ā) = 1 - p(A). p(A ou B) = p(A) + p(B) - p(A et B). p(A sachant B) = p(A et B)/p(B) : on se limite aux cas où B est vrai. A et B sont indépendants si p(A et B) = p(A) × p(B).
Une question à la fois. Après chaque réponse, tu vois tout de suite si c'est juste, et surtout la méthode pour y arriver.
Question 1 sur 7
Donne la probabilité sous forme décimale.
Source du programme : Programme éducatif du domaine d'apprentissage des sciences, mathématique, 4e année des humanités scientifiques, 1re édition, DIPROMAD/MEPST, Kinshasa 2021, matrice MM6.14 Introduction à la probabilité