Raisonner, c'est tirer une conclusion de ce qu'on sait déjà. Selon le chemin suivi (du général au particulier, du particulier au général, d'un cas semblable à un autre), le raisonnement change de nom et de solidité. L'Exetat décrit un raisonnement concret et te demande de le nommer.
L'essentiel
- La déduction va du général au particulier, ou des principes aux conséquences. Si les prémisses sont vraies et le raisonnement correct, la conclusion est nécessairement vraie : elle était déjà contenue dans les prémisses. C'est le raisonnement propre aux mathématiques (axiomes et définitions, puis théorèmes) et la forme du syllogisme.
- L'induction va du particulier au général : on part de cas observés pour arriver à une proposition générale, une loi. C'est la démarche des sciences expérimentales.
- L'induction complète (ou formelle) examine tous les éléments d'un ensemble fini, un par un, puis résume le résultat. Un professeur vérifie les 32 bulletins de ses 32 élèves et conclut « tous mes élèves ont réussi ». Elle est certaine, mais elle n'apprend rien au-delà des cas vérifiés.
- L'induction incomplète (ou amplifiante) généralise à partir de quelques cas seulement : après avoir vu le fer, le cuivre et l'aluminium se dilater à la chaleur, on affirme « tous les métaux se dilatent à la chaleur ». La conclusion « amplifie », dépasse ce qu'on a observé. Elle est féconde (elle produit les lois scientifiques), mais elle peut être contredite par un nouveau cas.
- L'analogie conclut d'une ressemblance partielle à une autre ressemblance : la Terre et Mars tournent autour du Soleil, ont une atmosphère et des saisons ; la Terre abrite la vie, donc Mars en abrite peut-être aussi. Sa conclusion n'est que probable (d'où le « peut-être ») ; elle sert surtout à inventer des hypothèses.
- Deux raisonnements mathématiques qui reviennent dans les items. Le raisonnement par l'absurde prouve une proposition en montrant que sa négation mène à une contradiction (on suppose √2 rationnel, et l'on aboutit à une impossibilité). Le raisonnement par récurrence prouve une propriété pour tous les entiers en deux temps : initialisation (vraie pour le premier rang, par exemple n = 1) et hérédité (si elle est vraie pour n, elle l'est pour n + 1). Les deux sont des démonstrations certaines.
Les formules
- Déduction
- général → particulier ; conclusion nécessaire
- Mathématiques, syllogisme.
- Induction complète
- tous les cas vérifiés → général ; conclusion certaine
- Ensemble fini, rien de nouveau.
- Induction amplifiante
- quelques cas → général ; conclusion probable
- Lois des sciences expérimentales.
- Analogie
- semblable sur certains points → semblable sur un autre ; conclusion probable
- Récurrence
- P(1) vraie et, pour tout n ≥ 1, P(n) ⇒ P(n + 1) ; alors P(n) est vraie pour tout n ≥ 1
La méthode
- 1Repère le point de départ et le point d'arrivée : une règle générale vers un cas (déduction) ou des cas vers une règle (induction).
- 2Si c'est une induction, compte les cas : tous les éléments ont été vérifiés un par un = induction complète (formelle) ; seulement quelques-uns = induction amplifiante (incomplète).
- 3Si l'on passe d'un objet à un autre objet qui lui ressemble, sans règle générale, c'est une analogie. Le mot « peut-être » ou « probablement » est un indice fort.
- 4Si l'on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver pour aboutir à une contradiction, c'est l'absurde ; s'il y a initialisation et passage de n à n + 1, c'est la récurrence.
- 5Pour une question sur la solidité, souviens-toi : déduction, induction complète, absurde et récurrence donnent une conclusion certaine ; induction amplifiante et analogie, une conclusion seulement probable.
Un exemple résolu
Après avoir observé que le fer, le cuivre et l'aluminium se dilatent quand on les chauffe, un élève affirme : « Tous les métaux se dilatent à la chaleur. » Il pratique : A. une déduction ; B. une induction formelle (complète) ; C. un raisonnement par l'absurde ; D. un raisonnement par analogie ; E. une induction amplifiante.
- 1.Départ : trois cas particuliers (fer, cuivre, aluminium). Arrivée : une proposition générale (tous les métaux). On va du particulier au général : c'est une induction. A (déduction) est exclue.
- 2.Il ne suppose pas le contraire de ce qu'il veut prouver (pas d'absurde) et ne passe pas d'un objet unique à un objet semblable (pas d'analogie) : C et D sont exclues.
- 3.Compte des cas : il a vu trois métaux, pas tous les métaux. Sa conclusion dépasse ce qu'il a observé.
- 4.Une induction qui généralise à partir de quelques cas est amplifiante, pas complète. B est exclue.
Réponse : E. une induction amplifiante
Les pièges à éviter
- Appeler « déduction » tout raisonnement qui finit par une conclusion. La déduction part du général ; si l'on part d'observations particulières, c'est une induction.
- Confondre induction complète et amplifiante. Demande-toi : a-t-on vérifié tous les cas, un par un ? Oui = complète ; non = amplifiante.
- Croire que la récurrence est une induction amplifiante parce qu'elle « généralise » : elle démontre, grâce à l'hérédité, et sa conclusion est certaine.
- Prendre une analogie pour une induction : l'analogie va d'un cas à un autre cas semblable, sans passer par une loi générale.
À retenir
Déduction : du général au particulier, conclusion nécessaire ; induction : du particulier au général, complète si tous les cas sont vérifiés, amplifiante sinon ; analogie : d'un cas semblable à un autre, conclusion seulement probable.