Chaque enfant est un nouveau tirage au sort : avoir déjà eu un enfant malade ne change pas la chance du suivant. Quand l'Exetat parle de plusieurs enfants (« exactement 3 sur 5 », « au moins un »), il faut la loi binomiale, et c'est le facteur combinatoire qu'on oublie le plus souvent.
L'essentiel
- Pour un seul enfant, on lit la probabilité dans l'échiquier. Deux porteurs sains d'une maladie récessive (Aa × Aa) : p = 3/4 d'avoir un enfant sain, q = 1/4 d'avoir un enfant malade (p + q = 1). Pour le sexe : 1/2 garçon, 1/2 fille.
- Plusieurs enfants dans un ordre imposé : on multiplie. Cinq enfants tous sains : (3/4)⁵ = 243/1024. Un ordre précis (par exemple les deux malades en dernier) : (3/4)³ × (1/4)².
- Si l'ordre n'est pas imposé (« exactement k malades parmi n enfants »), il faut multiplier par le nombre d'ordres possibles, noté C(n, k) : c'est la loi binomiale.
- Valeurs utiles de C(n, k) : C(4, 1) = 4 ; C(4, 2) = 6 ; C(5, 2) = C(5, 3) = 10 ; C(6, 2) = 15. Formule : C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!], avec n! = 1 × 2 × … × n.
- « Au moins un » : on passe par le contraire. P(au moins un malade) = 1 − P(aucun malade) = 1 − (3/4)ⁿ. Pour 3 enfants : 1 − 27/64 = 37/64.
- Probabilité sachant une information : si l'on sait qu'un enfant de deux porteurs est sain, on retire la case aa. Il reste AA, Aa, Aa : il est porteur avec la probabilité 2/3, et non 1/2.
- Deux parents normaux qui ont déjà eu un enfant albinos sont forcément tous les deux Aa : c'est cette information qui fixe p = 3/4 et q = 1/4 pour la suite.
Les formules
- Loi binomiale
- P(k cas parmi n) = C(n, k) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ
- p = probabilité du cas pour un enfant, q = 1 − p
- Nombre d'ordres possibles
- C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!]
- C(5, 2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10
- Au moins un
- P(au moins un) = 1 − qⁿ
- q = probabilité qu'un enfant n'ait pas le caractère
- Probabilité sachant le phénotype
- P(Aa sachant sain) = (1/2) ÷ (3/4) = 2/3
- pour un enfant de Aa × Aa
La méthode
- 1Trouve les génotypes des parents, puis la probabilité p pour UN enfant (souvent 3/4 et 1/4 pour Aa × Aa, ou 1/2 et 1/2 pour Aa × aa et pour le sexe ; attention, chez Aa × Aa, le phénotype dominant a 3/4, pas 1/2).
- 2Lis la question : un ordre précis (on multiplie seulement), « exactement k » (loi binomiale), « au moins un » (1 − le contraire), ou « parmi ceux qui sont… » (on change le dénominateur).
- 3Pour « exactement k », calcule C(n, k), puis pᵏ et qⁿ⁻ᵏ, et multiplie les trois.
- 4Écris le résultat en fraction, puis en décimal ou en pourcentage si les propositions le demandent.
Un exemple résolu
Deux parents en bonne santé sont tous deux porteurs (Aa) de l'allèle récessif de la drépanocytose. Ils ont 5 enfants. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 soient sains et 2 drépanocytaires ?
- 1.Pour un enfant : p(sain) = 3/4, q(malade) = 1/4.
- 2.Nombre d'ordres : C(5, 2) = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ (2 × 6) = 10.
- 3.Un ordre précis : (3/4)³ × (1/4)² = 27/64 × 1/16 = 27/1024.
- 4.Loi binomiale : 10 × 27/1024 = 270/1024 = 135/512.
- 5.En décimal : 135 ÷ 512 ≈ 0,264, soit environ 26,4 %.
Réponse : 135/512, soit environ 26,4 %.
Les pièges à éviter
- Oublier le facteur C(n, k) : on obtient la probabilité d'un seul ordre (2,6 % au lieu de 26,4 % dans l'exemple).
- Prendre p = 1/2 pour un caractère dominant : deux hétérozygotes ont 3/4 de descendants dominants, pas 1/2. Le 1/2 vaut pour garçon ou fille.
- Donner P(aucun) quand on demande « au moins un » : il faut faire 1 − P(aucun).
- Répondre 1/2 pour « la probabilité qu'un enfant sain soit porteur » : en retirant la case aa, on obtient 2/3.
À retenir
Exactement k cas parmi n enfants : C(n, k) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ ; au moins un : 1 − qⁿ.