Dans l'atome d'hydrogène de Bohr, l'électron ne peut se tenir que sur des orbites précises, comme sur les marches d'un escalier. En sautant d'une marche à l'autre, il émet ou absorbe un photon d'énergie bien précise : c'est l'origine des raies du spectre. À l'Exetat, ce sont surtout des calculs directs avec quelques formules.
L'essentiel
- Les couches sont repérées par le nombre n : K (n = 1), L (n = 2), M (n = 3), N (n = 4), O (n = 5), P (n = 6).
- Le rayon de l'orbite grandit comme n² : rₙ = 0,53 × n² Å (Å se lit angström : 1 Å = 10⁻¹⁰ m). L'orbite M (n = 3) est 9 fois plus grande que l'orbite K.
- L'énergie de l'électron est négative et vaut Eₙ = −13,6/n² eV (ou −1312/n² kJ par mole d'atomes). Plus n est grand, plus l'énergie est proche de 0 : l'électron est moins lié. À E = 0, il est arraché (atome ionisé).
- Quand l'électron descend d'un niveau haut vers un niveau bas, il émet un photon ; quand il monte, il en absorbe un. L'énergie du photon est l'écart entre les deux niveaux : E = |E(final) − E(initial)|.
- Un photon a une énergie E = hν = hc/λ, avec h = 6,625 × 10⁻³⁴ J·s (constante de Planck) et c = 3 × 10⁸ m/s. Plus la longueur d'onde λ est courte, plus le photon est énergétique (l'ultraviolet est plus énergétique que le rouge).
- Les raies sont groupées en séries selon le niveau d'arrivée n₁ : Lyman (n₁ = 1, ultraviolet), Balmer (n₁ = 2, visible), Paschen (n₁ = 3, infrarouge). La « première raie » d'une série vient du niveau juste au-dessus (n₂ = n₁ + 1).
- Bohr postule aussi que le moment cinétique est quantifié : L = m·v·r = n·h/(2π). On en tire la vitesse v = n·h/(2π·m·r).
- Relation d'incertitude de Heisenberg : on ne peut pas connaître à la fois exactement la position et la vitesse d'un électron. Sous la forme Δx·Δp ≈ h, avec Δp = m·Δv, on obtient Δv ≈ h/(m·Δx).
Les formules
- Rayon de l'orbite
- rₙ = 0,53 × n² Å
- 1 Å = 10⁻¹⁰ m
- Énergie d'un niveau
- Eₙ = −13,6/n² eV = −1312/n² kJ/mol
- 1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J
- Énergie du photon
- E = hν = hc/λ
- h = 6,625 × 10⁻³⁴ J·s ; c = 3 × 10⁸ m/s
- Fréquence d'une raie
- ν = R_H (1/n₁² − 1/n₂²)
- R_H = 3,3 × 10¹⁵ Hz ; n₁ : niveau d'arrivée, n₂ > n₁
- Moment cinétique quantifié
- m·v·r = n·h/(2π)
- m = 9,1 × 10⁻³¹ kg (électron)
- Heisenberg
- Δx·m·Δv ≈ h
- Δx : incertitude sur la position ; Δv : sur la vitesse
La méthode
- 1Traduis les lettres de couche en valeurs de n (K = 1, L = 2, M = 3, N = 4, O = 5, P = 6).
- 2Choisis la formule qui relie ce qu'on te donne à ce qu'on cherche (rayon, énergie, fréquence, longueur d'onde, vitesse).
- 3Pour une transition, calcule l'énergie de chaque niveau puis la différence, en valeur positive.
- 4Si on demande des joules, convertis les eV en multipliant par 1,6 × 10⁻¹⁹.
- 5Pour passer à λ, utilise λ = hc/E (E en joules), puis exprime en nm (1 nm = 10⁻⁹ m).
- 6Contrôle l'ordre de grandeur : une raie visible a une longueur d'onde entre 400 et 800 nm environ ; un photon visible porte de l'ordre de 10⁻¹⁹ J.
Un exemple résolu
Dans l'atome d'hydrogène, l'électron passe du niveau n = 3 au niveau n = 2 (première raie de Balmer). Avec Eₙ = −13,6/n² eV, 1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J, h = 6,625 × 10⁻³⁴ J·s et c = 3 × 10⁸ m/s, calcule l'énergie du photon émis et sa longueur d'onde.
- 1.E₃ = −13,6/9 = −1,511 eV.
- 2.E₂ = −13,6/4 = −3,40 eV.
- 3.L'électron descend : il émet un photon d'énergie E = E₃ − E₂ = −1,511 − (−3,40) = 1,889 eV.
- 4.En joules : E = 1,889 × 1,6 × 10⁻¹⁹ = 3,02 × 10⁻¹⁹ J.
- 5.Longueur d'onde : λ = hc/E = (6,625 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸)/(3,02 × 10⁻¹⁹) = 6,58 × 10⁻⁷ m.
- 6.En nanomètres : λ ≈ 658 nm, une lumière rouge, bien dans le visible comme toute raie de Balmer.
Réponse : E ≈ 3,02 × 10⁻¹⁹ J (1,89 eV) et λ ≈ 658 nm.
Les pièges à éviter
- Oublier de mettre n au carré : sur la couche M, r = 0,53 × 9 = 4,77 Å, pas 0,53 × 3.
- Calculer l'énergie d'une transition avec un seul niveau : il faut toujours la différence entre les deux niveaux.
- Confondre l'énergie d'ionisation depuis un niveau et l'énergie de ce niveau : depuis n = 2, il faut fournir +3,40 eV pour atteindre 0 (le signe de l'énergie du niveau est négatif, l'énergie à fournir est positive).
- Garder des nm ou des eV dans E = hc/λ : il faut des mètres et des joules, puis reconvertir à la fin.
- Inverser n₁ et n₂ dans ν = R_H(1/n₁² − 1/n₂²) : n₁ est le plus petit (niveau d'arrivée de la série), sinon la fréquence devient négative.
À retenir
rₙ = 0,53 n² Å, Eₙ = −13,6/n² eV, et le photon emporte l'écart d'énergie entre les deux niveaux : E = hν = hc/λ.