Chauffer de l'eau, comprimer de l'air dans un pneu, dilater un gaz dans un cylindre : tout cela se calcule avec quelques lois simples. L'Exetat demande la chaleur pour chauffer une masse, le volume ou la pression d'un gaz après une transformation, la chaleur échangée en compression isotherme et le travail d'un compresseur.
L'essentiel
- Quantité de chaleur pour chauffer une masse m sans changement d'état : Q = m × c × Δθ, où c est la chaleur massique. Pour l'eau, c = 1 kcal/(kg·°C) ≈ 4 180 J/(kg·°C). La kilocalorie est la chaleur qui élève 1 kg d'eau de 1 °C ; la calorie, 1 g d'eau de 1 °C.
- Dans toutes les lois des gaz, la température s'exprime en kelvins : T = θ + 273. Un gaz parfait obéit à p V = n R T (R = 8,31 J/(mol·K)), ou p V = m r T avec r propre au gaz (air : r = 287 J/(kg·K)). Pour une même quantité de gaz : p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
- Les quatre transformations : isotherme (T constante) : p V = constante, loi de Boyle-Mariotte ; isobare (p constante) : V/T = constante, loi de Gay-Lussac ; isochore (V constant) : p/T = constante, loi de Charles ; adiabatique (aucun échange de chaleur) : p V^γ = constante.
- Premier principe : ΔU = W + Q (W et Q comptés positivement quand le gaz les reçoit). L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température (loi de Joule) : en isotherme, ΔU = 0, donc Q = −W.
- Compression isotherme : le gaz reçoit du travail et cède autant de chaleur. Q = m r T × ln(p₁/p₂) : négatif quand p₂ > p₁. En valeur, la chaleur cédée vaut m r T × ln(p₂/p₁).
- Relation de Mayer : C_p − C_v = R (par mole) ou c_p − c_v = r (par kg). C_p est plus grand car, à pression constante, le gaz chauffé se dilate et fournit en plus un travail. Le rapport γ = C_p/C_v vaut environ 1,4 pour l'air.
- Travail de transvasement d'un compresseur (il aspire, comprime et refoule) : isentropique (adiabatique réversible) W = γ/(γ − 1) × (p₂V₂ − p₁V₁) ; polytropique d'exposant n : W = n/(n − 1) × (p₂V₂ − p₁V₁) ; isotherme : W = m r T × ln(p₂/p₁).
Les formules
- Chaleur sensible
- Q = m × c × Δθ
- eau : c = 1 kcal/(kg·°C) = 4 180 J/(kg·°C)
- Température absolue
- T = θ + 273
- T en K, θ en °C
- Gaz parfait
- p V = n R T = m r T ; p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
- R = 8,31 J/(mol·K) ; air : r = 287 J/(kg·K)
- Transformations
- isotherme : p V = cte ; isobare : V/T = cte ; isochore : p/T = cte ; adiabatique : p V^γ = cte
- T en kelvins
- Premier principe
- ΔU = W + Q
- isotherme : ΔU = 0, Q = −W
- Chaleur en isotherme
- Q = m r T × ln(p₁/p₂)
- compression : Q < 0, le gaz cède
- Relation de Mayer
- C_p − C_v = R ; γ = C_p/C_v
- air : γ ≈ 1,4
- Travail d'un compresseur
- W = γ/(γ − 1) × (p₂V₂ − p₁V₁)
- polytropique : remplacer γ par n
La méthode
- 1Convertis toutes les températures en kelvins (θ + 273). Les pressions et volumes peuvent rester en bar et en litres si on les compare entre eux.
- 2Identifie la grandeur constante (T, p ou V) ou l'absence d'échange de chaleur (adiabatique).
- 3Écris la loi correspondante, ou directement p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂, et isole l'inconnue.
- 4Pour plusieurs étapes successives, enchaîne-les une par une, puis contrôle avec p V/T au début et à la fin.
- 5Pour la chaleur d'une isotherme, calcule m r T, puis multiplie par le logarithme du rapport des pressions, et donne le signe : compression = chaleur cédée.
- 6Pour un compresseur, calcule d'abord γ/(γ − 1) (3,5 pour γ = 1,4), puis multiplie par p₂V₂ − p₁V₁.
Un exemple résolu
Un gaz parfait occupe 10 L sous 1 bar à 27 °C. On le chauffe à volume constant jusqu'à 2 bar, puis à pression constante (2 bar) jusqu'à 627 °C. Quel est son volume final ?
- 1.État initial : V₁ = 10 L, p₁ = 1 bar, T₁ = 27 + 273 = 300 K.
- 2.Isochore : p/T = constante. La pression double, donc la température double : T₂ = 300 × 2/1 = 600 K, et V₂ = 10 L.
- 3.Isobare jusqu'à T₃ = 627 + 273 = 900 K : V/T = constante, donc V₃ = V₂ × T₃/T₂ = 10 × 900/600 = 15 L.
- 4.Contrôle : p₁V₁/T₁ = 1 × 10/300 ≈ 0,0333 et p₃V₃/T₃ = 2 × 15/900 ≈ 0,0333. Les deux valeurs sont égales.
Réponse : Le volume final vaut 15 L.
Les pièges à éviter
- Laisser les températures en °C : 27 °C n'est pas « deux fois moins chaud » que 54 °C. Convertis toujours en kelvins.
- Se tromper de signe en compression isotherme : le gaz reçoit du travail, donc il CÈDE de la chaleur (Q < 0).
- Croire qu'en isotherme le gaz n'échange pas de chaleur : c'est l'adiabatique qui n'échange pas de chaleur ; l'isotherme en échange autant que de travail.
- Confondre les noms des lois : Boyle-Mariotte (T constante), Gay-Lussac (p constante), Charles (V constant), Mayer (C_p − C_v = R).
- Oublier de convertir les kcal en joules (× 4 180) quand les propositions sont en kJ.
À retenir
Toujours T = θ + 273 ; p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ ; Q = m c Δθ ; en isotherme ΔU = 0 et Q = −W ; Mayer : C_p − C_v = R.