Une règle plate plie facilement à plat, mais presque pas posée sur la tranche : c'est le moment quadratique qui mesure cette différence. L'Exetat demande de le calculer pour un rectangle ou un cercle, de retrouver les dimensions d'une section, et de savoir comment orienter une poutre.
L'essentiel
- Le moment quadratique I d'une section (en mm⁴ ou cm⁴) mesure sa résistance à la flexion autour d'un axe. Il ne dépend que de la forme et des dimensions de la section, pas du matériau. Plus I est grand, moins la poutre fléchit.
- Rectangle de base b et de hauteur h, par rapport à l'axe central parallèle à la base : I = b h³/12. La hauteur est au CUBE : c'est elle qui compte le plus.
- Orientation d'une poutre : pour résister le mieux, on place la plus grande dimension verticalement, dans le sens de la charge. Une section 40 × 120 mm posée debout a un moment 9 fois plus grand que posée à plat (rapport (h/b)² = 3² = 9).
- Cercle plein de diamètre d, par rapport à un diamètre : I = π d⁴/64. Le moment polaire (pour la torsion) est deux fois plus grand : I₀ = π d⁴/32.
- Module de flexion W = I/v, où v est la distance de l'axe à la fibre la plus éloignée (v = h/2 pour un rectangle, v = d/2 pour un cercle). Rectangle : W = b h²/6. Cercle : W = π d³/32 ≈ 0,1 d³. Il sert dans σ = M/W.
- Théorème de Huygens : par rapport à un axe parallèle à l'axe central, à la distance d : I_Δ = I_G + S × d², où S est l'aire de la section. Pour un rectangle et l'axe confondu avec sa base : I = b h³/3.
- Retrouver les dimensions : si h = k × b, alors I = b (k b)³/12 = k³ b⁴/12. On isole b⁴, puis on prend la racine quatrième (deux racines carrées de suite).
Les formules
- Rectangle (axe central parallèle à la base)
- I = b h³/12
- h : dimension perpendiculaire à l'axe
- Rectangle (axe confondu avec la base)
- I = b h³/3
- par Huygens
- Cercle plein
- I = π d⁴/64 ; I₀ = π d⁴/32
- I₀ : moment polaire
- Module de flexion
- W = I/v ; rectangle : W = b h²/6 ; cercle : W = π d³/32 ≈ 0,1 d³
- en mm³
- Théorème de Huygens
- I_Δ = I_G + S × d²
- d : distance entre les deux axes parallèles
- Section avec h = k b
- I = k³ b⁴/12
- h = 2b : I = 2b⁴/3 ; h = 3b : I = 2,25 b⁴
La méthode
- 1Repère la forme (rectangle ou cercle) et l'axe demandé : axe central, axe de base, diamètre.
- 2Pour un rectangle, identifie la dimension perpendiculaire à l'axe : c'est elle qui va au cube.
- 3Si on donne un rapport h = k × b, remplace h dans I = b h³/12 pour obtenir une équation en b⁴.
- 4Isole b⁴, puis b = √(√(b⁴)). Calcule ensuite h = k × b.
- 5Si on demande le module de flexion, divise I par v (la demi-hauteur) ou utilise directement b h²/6.
- 6Garde les mêmes unités du début à la fin : mm donne des mm⁴, cm donne des cm⁴.
Un exemple résolu
Une poutre rectangulaire a une hauteur égale à 3 fois sa base. Son moment quadratique maximal vaut 5,76 × 10⁶ mm⁴. Trouve b et h, puis compare avec la même poutre posée à plat.
- 1.Le moment maximal correspond à la hauteur verticale : I = b h³/12.
- 2.Avec h = 3b : I = b × (3b)³/12 = 27 b⁴/12 = 2,25 b⁴.
- 3.2,25 b⁴ = 5 760 000, donc b⁴ = 5 760 000/2,25 = 2 560 000 mm⁴.
- 4.√2 560 000 = 1 600, puis √1 600 = 40 : b = 40 mm et h = 3 × 40 = 120 mm.
- 5.À plat, c'est la base de 40 mm qui est verticale : I = 120 × 40³/12 = 120 × 64 000/12 = 640 000 mm⁴.
- 6.Rapport : 5 760 000/640 000 = 9. Debout, la poutre est 9 fois plus rigide.
Réponse : b = 40 mm et h = 120 mm ; il faut poser la poutre sur sa petite face, la hauteur de 120 mm verticale.
Les pièges à éviter
- Mettre la base au cube au lieu de la hauteur : dans b h³/12, c'est la dimension perpendiculaire à l'axe de flexion qui est au cube.
- Confondre π d⁴/64 (moment par rapport à un diamètre, pour la flexion) et π d⁴/32 (moment polaire, pour la torsion).
- Confondre I (en mm⁴) et W = I/v (en mm³) : lis bien ce que demande l'énoncé.
- Prendre une racine carrée au lieu d'une racine quatrième quand on isole b⁴.
- Répondre dans le mauvais ordre : vérifie si l'énoncé demande « hauteur puis base » ou « base puis hauteur ».
À retenir
Rectangle : I = b h³/12 (la hauteur au cube, donc poutre posée debout) ; cercle : I = π d⁴/64 ; module de flexion W = I/v.