Appuie sur une règle en plastique posée debout : au lieu de se raccourcir, elle se courbe d'un coup sur le côté. C'est le flambage, le danger des barres longues et fines qui sont comprimées. L'Exetat demande la charge critique d'Euler et la longueur à partir de laquelle il faut faire ce calcul.
L'essentiel
- Le flambage est la flexion latérale soudaine d'une barre comprimée. Il touche les pièces longues et minces (tiges, bielles, colonnes), même quand la contrainte de compression reste faible.
- Charge critique d'Euler : Fc = π² E I/l². Au-delà de cette charge, la barre flambe. E est le module d'élasticité du matériau (environ 200 000 N/mm² pour l'acier), I le plus petit moment quadratique de la section, l la longueur libre de flambage.
- Longueur libre de flambage : elle dépend de la façon dont les bouts sont tenus. Articulée aux deux bouts : l = longueur réelle L. Encastrée à un bout et libre à l'autre : l = 2L. Encastrée aux deux bouts : l = 0,5 L. Encastrée et articulée : l ≈ 0,7 L.
- Rayon de giration : i = √(I/S). Pour un cercle plein de diamètre d : I = π d⁴/64 et S = π d²/4, donc i = d/4.
- Élancement : λ = l/i. Il dit à quel point la barre est longue et fine. Plus λ est grand, plus la barre flambe facilement.
- La formule d'Euler ne s'applique qu'aux barres très élancées : λ doit dépasser l'élancement critique λc = √(π² E/Re), où Re est la limite élastique. Pour un cercle, λ = 4l/d, donc la condition devient l > λc × d/4.
- La charge critique varie comme 1/l² : une barre deux fois plus longue supporte quatre fois moins. Elle varie comme d⁴ (par I) : doubler le diamètre multiplie Fc par 16.
Les formules
- Charge critique d'Euler
- Fc = π² E I/l²
- E en N/mm², I en mm⁴, l en mm : Fc en N
- Longueur libre de flambage
- articulée-articulée : l = L ; encastrée-libre : l = 2L ; encastrée-encastrée : l = 0,5 L
- L : longueur réelle
- Rayon de giration
- i = √(I/S) ; cercle plein : i = d/4
- en mm
- Élancement
- λ = l/i
- sans unité
- Élancement critique
- λc = √(π² E/Re) = π √(E/Re)
- Euler valable si λ > λc
- Condition pour un cercle plein
- l > λc × d/4
- car λ = 4l/d
La méthode
- 1Détermine la longueur libre de flambage l d'après les liaisons aux extrémités, et convertis-la en mm.
- 2Calcule le moment quadratique I (cercle : π d⁴/64) et, si besoin, le rayon de giration i = √(I/S).
- 3Vérifie l'élancement : λ = l/i doit dépasser λc = √(π² E/Re) pour que la formule d'Euler s'applique.
- 4Calcule Fc = π² E I/l² avec E en N/mm², I en mm⁴ et l en mm : Fc sort en N.
- 5Convertis en kN si les propositions sont en kN (divise par 1 000).
Un exemple résolu
Une tige d'acier de diamètre 30 mm et de longueur 1,5 m est articulée à ses deux extrémités. E = 200 000 N/mm², Re = 250 N/mm², π² = 10. Vérifie que la formule d'Euler s'applique, puis calcule la charge critique.
- 1.Articulée aux deux bouts : longueur libre l = 1,5 m = 1 500 mm.
- 2.Rayon de giration : i = d/4 = 30/4 = 7,5 mm, donc λ = 1 500/7,5 = 200.
- 3.Élancement critique : λc = √(10 × 200 000/250) = √8 000 ≈ 89,4. Comme 200 > 89,4, la formule d'Euler s'applique.
- 4.Moment quadratique : I = π × 30⁴/64 = π × 810 000/64 ≈ 39 761 mm⁴.
- 5.Charge critique : Fc = 10 × 200 000 × 39 761/1 500² = 79 522 000 000/2 250 000 ≈ 35 343 N.
Réponse : La formule d'Euler s'applique (λ = 200 > 89,4) et Fc ≈ 35,3 kN.
Les pièges à éviter
- Laisser la longueur en mètres alors que E est en N/mm² : convertis l en mm (1 m = 1 000 mm), puis élève au carré.
- Oublier d'élever l au carré, ou prendre I = π d⁴/32 (moment polaire) au lieu de π d⁴/64.
- Oublier l'effet des liaisons : une barre encastrée à un bout et libre à l'autre a une longueur libre double de sa longueur réelle.
- Pour la condition d'élancement, oublier que i = d/4 : la condition l > λc × d/4 divise λc par 4.
À retenir
Charge critique d'Euler Fc = π² E I/l², valable seulement si l'élancement λ = l/i dépasse √(π² E/Re) ; pour un cercle, i = d/4.