Deux roues dentées qui s'emboîtent transmettent la rotation sans glisser : c'est un engrenage, présent dans les boîtes de vitesses, les montres et les réducteurs. L'Exetat demande le type d'engrenage selon la position des axes, l'entraxe à partir du module, et la vitesse de sortie d'un train d'engrenages.
L'essentiel
- Un engrenage, ce sont deux roues dentées qui engrènent. La plus petite s'appelle le pignon, la plus grande la roue. Le profil des dents est une courbe appelée développante de cercle.
- Classement selon la position des axes : axes parallèles, roues cylindriques (engrenage parallèle) ; axes qui se coupent, roues coniques (engrenage concourant, souvent à 90°, comme dans une perceuse à main ou un différentiel) ; axes ni parallèles ni concourants, roue et vis sans fin (engrenage gauche).
- La crémaillère est une barre dentée : une roue de diamètre infini. Avec un pignon, elle transforme une rotation en translation.
- Le module m (en mm) fixe la taille des dents. Deux roues ne peuvent engrener que si elles ont le même module. Le diamètre primitif d'une roue de Z dents est d = m × Z.
- Les cercles primitifs de deux roues qui engrènent extérieurement se touchent : l'entraxe (distance entre les deux axes) est la somme des rayons : a = (d₁ + d₂)/2 = m (Z₁ + Z₂)/2.
- Rapport de transmission d'un engrenage : n₂/n₁ = Z₁/Z₂. Un petit pignon qui mène une grande roue réduit la vitesse (et augmente le couple).
- Un train d'engrenages enchaîne plusieurs engrenages. Son rapport global est le produit des rapports : n_sortie/n_entrée = (produit des dents des roues menantes)/(produit des dents des roues menées).
Les formules
- Diamètre primitif
- d = m × Z
- m : module en mm ; Z : nombre de dents
- Entraxe (engrenage extérieur)
- a = (d₁ + d₂)/2 = m (Z₁ + Z₂)/2
- en mm
- Rapport d'un engrenage
- n₂/n₁ = Z₁/Z₂ = d₁/d₂
- 1 : menante ; 2 : menée
- Rapport d'un train
- n_sortie/n_entrée = (Z menantes multipliés)/(Z menées multipliés)
- produit des rapports
La méthode
- 1Type d'engrenage : regarde les axes (parallèles, concourants ou gauches).
- 2Entraxe : calcule les diamètres primitifs d = m × Z, puis a = (d₁ + d₂)/2.
- 3Train d'engrenages : repère pour chaque étage la roue menante (qui entraîne) et la roue menée (entraînée).
- 4Multiplie les nombres de dents des menantes, divise par le produit des menées : c'est le rapport global.
- 5Multiplie la vitesse d'entrée par ce rapport. Contrôle : des petits pignons qui mènent de grandes roues donnent une sortie plus lente.
Un exemple résolu
Un moteur tourne à 1 500 tr/min. Un pignon de 20 dents mène une roue de 50 dents (module 2,5 mm) ; sur l'arbre de cette roue, un pignon de 18 dents mène une roue de sortie de 54 dents. Calcule l'entraxe du premier étage et la vitesse de sortie.
- 1.Diamètres primitifs du premier étage : d₁ = 2,5 × 20 = 50 mm et d₂ = 2,5 × 50 = 125 mm.
- 2.Entraxe : a = (50 + 125)/2 = 175/2 = 87,5 mm.
- 3.Premier étage : rapport 20/50, l'arbre intermédiaire tourne à 1 500 × 20/50 = 600 tr/min.
- 4.Second étage : rapport 18/54 = 1/3, la sortie tourne à 600/3 = 200 tr/min.
- 5.Contrôle par le rapport global : (20 × 18)/(50 × 54) = 360/2 700 = 2/15 ; 1 500 × 2/15 = 200 tr/min.
Réponse : Entraxe 87,5 mm ; l'arbre de sortie tourne à 200 tr/min.
Les pièges à éviter
- Inverser le rapport : n₂/n₁ = Z₁/Z₂ (dents de la menante en haut). Une sortie plus rapide que l'entrée avec des petits pignons menants est le signe d'une erreur.
- Oublier de diviser par 2 pour l'entraxe : a est la somme des RAYONS.
- Mettre au numérateur une roue menée : seules les roues menantes vont en haut.
- Confondre concourant (axes qui se coupent, roues coniques) et gauche (axes qui ne se coupent pas, vis sans fin).
À retenir
d = m × Z ; entraxe a = m (Z₁ + Z₂)/2 ; n_sortie/n_entrée = produit des dents menantes/produit des dents menées ; roues coniques = axes concourants.