Un tourillon est la partie d'un arbre qui tourne dans un palier (dans son coussinet). Quand il dépasse au bout de l'arbre, la charge le fait plier comme un plongeoir. L'Exetat demande son diamètre minimal pour qu'il ne casse pas, sa longueur, et la pression qu'il exerce sur le coussinet.
L'essentiel
- « En porte-à-faux » veut dire que la pièce dépasse de son dernier appui : elle se comporte comme une poutre encastrée à un bout et libre à l'autre. Le moment de flexion est maximal à l'encastrement, à la base du tourillon.
- Une charge F répartie uniformément sur la longueur l (ou concentrée au milieu) agit au milieu du tourillon. Le bras de levier est donc l/2 et le moment maximal vaut M = F × l/2.
- Condition de résistance en flexion : la contrainte σ = M/W ne doit pas dépasser la contrainte admissible σadm. W est le module de flexion : W = π d³/32 pour un cylindre plein, souvent arrondi à W = 0,1 d³.
- On impose en général un rapport l = k × d (par exemple l = 1,5 d). En remplaçant, le d se simplifie une fois : il reste une équation en d². Avec W = 0,1 d³ : d² = 5 × k × F/σadm. Avec W = π d³/32 : d² = 16 × k × F/(π × σadm).
- Une fois d trouvé, la longueur se déduit : l = k × d.
- Pression de contact (pression diamétrale) entre le tourillon et son coussinet : p = F/(d × l). On divise par la surface projetée, le rectangle d × l vu de face, et non par la surface du cylindre. On compare p à la pression admissible du coussinet.
- Unités pratiques : forces en N, longueurs en mm, contraintes en N/mm² (1 N/mm² = 1 MPa). Le moment sort alors en N·mm.
Les formules
- Moment maximal (porte-à-faux, charge au milieu)
- M = F × l/2
- à l'encastrement
- Condition de résistance
- σ = M/W ≤ σadm
- σ en N/mm²
- Module de flexion du cylindre plein
- W = π d³/32 ≈ 0,1 d³
- en mm³
- Diamètre minimal (W = 0,1 d³, l = k d)
- d² ≥ 5 × k × F/σadm
- puis l = k × d
- Diamètre minimal (W = π d³/32, l = k d)
- d² ≥ 16 × k × F/(π × σadm)
- k = 1,5 : d² ≥ 24 F/(π σadm)
- Pression diamétrale
- p = F/(d × l)
- surface projetée d × l
La méthode
- 1Écris le moment à l'encastrement : M = F × l/2, puis remplace l par k × d.
- 2Écris σ = M/W avec le W donné par l'énoncé (0,1 d³ ou π d³/32).
- 3Simplifie par d : il reste une expression du type (nombre)/d².
- 4Pose la condition (nombre)/d² ≤ σadm, isole d², puis prends la racine carrée.
- 5Calcule la longueur l = k × d si on la demande.
- 6Pour la pression sur le coussinet : p = F/(d × l), avec d et l en mm, résultat en N/mm².
Un exemple résolu
Un tourillon en porte-à-faux porte une charge de 20 000 N répartie sur sa longueur. On impose l = 1,5 d, W = 0,1 d³ et σadm = 60 N/mm². Calcule le diamètre minimal, la longueur, puis la pression diamétrale sur le coussinet.
- 1.Moment à l'encastrement : M = F × l/2 = 20 000 × 1,5 d/2 = 15 000 d (en N·mm, d en mm).
- 2.Contrainte : σ = M/W = 15 000 d/(0,1 d³) = 150 000/d².
- 3.Condition : 150 000/d² ≤ 60, donc d² ≥ 150 000/60 = 2 500.
- 4.d ≥ √2 500 = 50 mm.
- 5.Longueur : l = 1,5 × 50 = 75 mm.
- 6.Pression diamétrale : p = 20 000/(50 × 75) = 20 000/3 750 ≈ 5,33 N/mm².
Réponse : d = 50 mm, l = 75 mm et p ≈ 5,33 N/mm².
Les pièges à éviter
- Prendre M = F × l au lieu de F × l/2 : une charge répartie agit au milieu de la longueur.
- Confondre les deux modules : 0,1 d³ et π d³/32 donnent des diamètres un peu différents. Utilise celui que donne l'énoncé.
- Oublier la racine carrée à la fin : on trouve d², pas d.
- Calculer la pression avec la surface du cylindre (π d l) ou d'un disque : la pression diamétrale se calcule toujours avec d × l.
- Répondre le diamètre quand on demande la longueur : relis la question avant de cocher.
À retenir
Tourillon en porte-à-faux : M = F l/2, σ = M/W ≤ σadm avec W ≈ 0,1 d³, et pression sur le coussinet p = F/(d × l).