Un volant, une roue, l'arbre d'un moteur : tout ce qui tourne obéit à des lois copiées sur celles de la translation, avec ω à la place de v, le moment d'inertie J à la place de m et le couple C à la place de F. L'Exetat demande l'énergie d'un volant, l'accélération sous un couple et la puissance mesurée au frein de Prony.
L'essentiel
- Vitesse angulaire ω : l'angle parcouru par seconde, en radians par seconde (rad/s). Un tour vaut 2π rad. Si la vitesse est donnée en tours par minute (N), on convertit : ω = 2π × N/60. Ainsi 1 500 tr/min ≈ 157 rad/s et 3 000 tr/min ≈ 314 rad/s.
- Moment d'inertie J (en kg·m²) : la « masse » de la rotation. Il dit à quel point un objet résiste quand on veut le faire tourner plus vite. Pour un anneau (ou un volant dont la masse est sur la jante) de rayon R : J = m R². Avec un rayon de giration k : J = m k². Pour un disque plein : J = ½ m R².
- Énergie cinétique de rotation : Ec = ½ J ω². Elle joue le rôle de ½ m v². Si les frottements arrêtent le volant, toute cette énergie est dissipée en chaleur.
- Principe fondamental de la rotation : C = J × α, où C est le couple (en N·m) et α l'accélération angulaire (en rad/s²). C'est la version tournante de F = m a.
- Démarrage depuis le repos sous couple constant : ω = α t et angle parcouru θ = ½ α t². Le nombre de tours est θ/(2π).
- Puissance d'un arbre qui tourne : P = C × ω (en watts). Un cheval vapeur (ch) vaut 736 W.
- Frein de Prony : un sabot serré sur la poulie du moteur le freine, et un levier de longueur L relié au sabot tend à tourner. On mesure la force F qui retient le bout du levier. Le couple du moteur est C = F × L, puis P = C × ω.
Les formules
- Vitesse angulaire
- ω = 2π × N/60
- N en tr/min, ω en rad/s
- Moment d'inertie
- J = m R² (anneau) ; J = m k² (rayon de giration) ; J = ½ m R² (disque plein)
- en kg·m², R en m
- Énergie cinétique de rotation
- Ec = ½ J ω²
- ω = √(2Ec/J)
- Principe fondamental de la rotation
- C = J × α
- α = Δω/Δt en rad/s²
- Démarrage depuis le repos
- ω = α t ; θ = ½ α t² ; tours = θ/(2π)
- couple constant
- Puissance
- P = C × ω
- W ; 1 ch = 736 W
- Frein de Prony
- C = F × L
- F lue au bout du levier de longueur L
La méthode
- 1Convertis les tours par minute en rad/s : ω = 2π × N/60. Convertis les cm en m (60 cm = 0,6 m).
- 2Calcule le moment d'inertie avec la bonne formule (m R² pour un anneau ou une jante, m k² avec un rayon de giration).
- 3Énergie : Ec = ½ J ω². Pour retrouver ω : ω = √(2Ec/J).
- 4Couple et accélération : α = C/J ou α = Δω/Δt, puis ω = α t et θ = ½ α t².
- 5Frein de Prony : C = F × L, puis P = C × ω. Dans l'autre sens : C = P/ω, puis F = C/L.
- 6Convertis la puissance si on la demande en chevaux : divise les watts par 736.
Un exemple résolu
Au banc d'essai, un moteur tourne à 1 500 tr/min. Au frein de Prony, la force mesurée au bout du levier vaut 200 N, à 0,6 m de l'axe. Calcule la puissance du moteur en watts puis en chevaux (1 ch = 736 W).
- 1.Couple du moteur : C = F × L = 200 × 0,6 = 120 N·m.
- 2.Vitesse angulaire : ω = 2π × 1 500/60 = 2π × 25 = 50π ≈ 157,1 rad/s.
- 3.Puissance : P = C × ω = 120 × 157,1 ≈ 18 850 W.
- 4.En chevaux : 18 850/736 ≈ 25,6 ch.
Réponse : P ≈ 18 850 W, soit environ 25,6 ch.
Les pièges à éviter
- Garder les tr/min dans les formules : P = C × ω et Ec = ½ J ω² exigent ω en rad/s. Oublier le 2π/60 donne un résultat faux de beaucoup.
- Oublier d'élever le rayon au carré : J = m R², donc 60 cm donne 0,6² = 0,36, pas 0,6.
- Confondre l'angle en radians et le nombre de tours : θ = 50 rad ne fait que 50/(2π) ≈ 8 tours.
- Oublier le ½ dans Ec = ½ J ω² ou dans θ = ½ α t².
- Au frein de Prony, prendre le rayon de la poulie au lieu de la longueur du levier : le couple se calcule avec la distance entre l'axe et le point où l'on mesure la force.
À retenir
Tout se traduit de la translation : v devient ω = 2πN/60, m devient J = m R², F devient C = J α, ½ m v² devient ½ J ω², et la puissance vaut P = C × ω.