Une centrale hydraulique récupère l'énergie de l'eau qui tombe : plus la chute est haute et le débit grand, plus la puissance est forte. L'Exetat demande la puissance d'une turbine, son débit, le comportement de l'eau dans une Pelton, le choix entre Pelton, Francis et Kaplan, et le classement des centrales.
L'essentiel
- Puissance hydraulique : Ph = ρ × g × Q × H, en watts (ρ = 1 000 kg/m³ pour l'eau, g ≈ 10 m/s², Q débit en m³/s, H hauteur de chute nette en m). Elle dépend à la fois du débit et de la hauteur : une chute haute avec un filet d'eau donne peu.
- La turbine rend moins qu'elle ne reçoit : Pu = η × Ph. Pour trouver le débit nécessaire, on divise : Q = Pu/(η × ρ × g × H).
- Hauteur nette = hauteur géométrique − pertes de charge dans la conduite forcée. Par exemple, 10 cm de perte par mètre sur 1 000 m font perdre 100 m.
- Turbine Pelton (turbine à action) : dans la tuyère (injecteur), la pression de l'eau tombe à la pression atmosphérique et sa vitesse augmente fortement (théorème de Bernoulli : ce que l'eau gagne en vitesse, elle le perd en pression). Dans les augets, la pression reste atmosphérique et la vitesse de l'eau diminue : son énergie cinétique passe à la roue.
- Vitesse du jet : v = √(2gH). Le rendement est maximal quand les augets vont à la moitié de la vitesse du jet : u = v/2. Vitesse de rotation : n = 60 × u/(π × D). Section du jet : S = Q/v.
- Choix de la turbine selon la chute : haute chute et faible débit, Pelton ; chute moyenne, Francis ; basse chute et grand débit (fleuve de plaine), Kaplan, une hélice à pales orientables.
- Couple sur l'arbre : C = P/Ω, avec Ω = 2πn/60 en rad/s. Les turbines hydrauliques tournent lentement, d'où des couples énormes (en kN·m) et des alternateurs à nombreux pôles.
- Classement des centrales selon la durée de remplissage de la retenue : au fil de l'eau (moins de 2 h, pas de vraie réserve), d'éclusée (de 2 à 400 h), de lac (plus de 400 h, réserve saisonnière). Le fleuve Congo a un débit très régulier parce que son bassin s'étend des deux côtés de l'équateur : les saisons des pluies de ses affluents se relaient.
Les formules
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ × g × Q × H
- W ; ρ = 1 000 kg/m³
- Puissance utile
- Pu = η × ρ × g × Q × H
- η < 1
- Débit
- Q = Pu/(η × ρ × g × H)
- m³/s
- Hauteur nette
- Hn = Hg − pertes de charge
- m
- Vitesse du jet
- v = √(2gH)
- m/s
- Pelton optimale
- u = v/2 ; n = 60 × u/(π × D)
- D : diamètre de la roue
- Section du jet
- S = Q/v
- m² (× 10 000 pour des cm²)
- Couple
- C = P/Ω ; Ω = 2πn/60
- N·m
La méthode
- 1Calcule la hauteur nette si l'on te donne des pertes de charge.
- 2Calcule la puissance de l'eau ρ × g × Q × H en watts, puis multiplie par le rendement pour la puissance utile (ou divise pour remonter au débit).
- 3Pour une Pelton : vitesse du jet √(2gH), vitesse des augets v/2, puis vitesse de rotation 60u/(πD) et section Q/v.
- 4Pour le couple, convertis la vitesse en rad/s et la puissance en watts avant de diviser.
- 5Pour un choix de turbine, regarde la hauteur de chute : haute, Pelton ; moyenne, Francis ; basse, Kaplan.
Un exemple résolu
Une turbine Pelton reçoit 0,8 m³/s. La hauteur géométrique vaut 300 m et la conduite forcée de 800 m perd 5 cm par mètre. Le rendement vaut 0,88 et la roue a 1,5 m de diamètre (g = 10 m/s²). Calcule la puissance utile, la vitesse du jet, la section du jet et la vitesse de rotation optimale.
- 1.Pertes de charge : 800 × 0,05 = 40 m. Hauteur nette : 300 − 40 = 260 m.
- 2.Puissance de l'eau : 1 000 × 10 × 0,8 × 260 = 2 080 000 W. Puissance utile : 0,88 × 2 080 000 ≈ 1 830 kW.
- 3.Vitesse du jet : v = √(2 × 10 × 260) = √5 200 ≈ 72,1 m/s.
- 4.Section du jet : S = 0,8/72,1 ≈ 0,011 1 m², soit environ 111 cm².
- 5.Vitesse des augets : u = 72,1/2 ≈ 36,1 m/s.
- 6.Vitesse de rotation : n = 60 × 36,1/(π × 1,5) ≈ 459 tr/min.
Réponse : Pu ≈ 1 830 kW, v ≈ 72,1 m/s, S ≈ 111 cm² et n ≈ 459 tr/min.
Les pièges à éviter
- Diviser par le rendement pour la puissance utile (ou multiplier pour le débit) : la turbine rend toujours moins que ce que l'eau apporte.
- Utiliser la hauteur géométrique au lieu de la hauteur nette quand on te donne des pertes de charge.
- Croire que la pression augmente dans la tuyère : c'est la vitesse qui augmente et la pression qui baisse. Dans les augets, c'est la vitesse qui diminue.
- Donner la vitesse du jet au lieu de celle des augets, ou prendre le diamètre pour le rayon (circonférence = π × D).
- Diviser une puissance par des tr/min : convertis en rad/s (et les kW en W) avant de calculer un couple.
À retenir
Pu = η × ρ × g × Q × H ; Pelton : v = √(2gH) et augets à v/2 ; haute chute Pelton, moyenne Francis, basse Kaplan.