Un ordinateur, un téléphone ou une machine à laver ne manipulent que des 0 et des 1. L'Exetat demande de convertir des nombres entre les bases 2, 8, 10 et 16, de simplifier une fonction logique, de reconnaître les portes et leurs circuits intégrés, et quelques notions sur les microprocesseurs.
L'essentiel
- Un nombre écrit « xyz » en base b vaut x × b² + y × b + z. En binaire (base 2), les poids sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… ; en octal (base 8), 1, 8, 64… ; en hexadécimal (base 16), 1, 16, 256…, avec les chiffres A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Pour passer du décimal à une base b, on fait des divisions successives par b et on lit les restes de bas en haut.
- Raccourcis : un chiffre hexadécimal = un paquet de 4 bits, un chiffre octal = un paquet de 3 bits, en groupant depuis la droite. 365 = 1 0110 1101₂ = 16D₁₆.
- Avec n bits, on code 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1. Nombre minimal de bits pour un nombre N : le plus petit n tel que 2ⁿ − 1 ≥ N (100 demande 7 bits, 5 000 en demande 13).
- Nombres négatifs par complément vrai en base b sur n chiffres : −N s'écrit bⁿ − N. On peut aussi prendre le complément restreint (chaque chiffre remplacé par b − 1 − chiffre) puis ajouter 1. En octal sur 3 chiffres : −10 donne 512 − 10 = 502, soit 766₈.
- Algèbre de Boole : ET (produit, a·b) vaut 1 si toutes les entrées valent 1, il correspond à l'intersection ; OU (somme, a + b) vaut 1 si au moins une vaut 1, il correspond à la réunion ; NON inverse. OU exclusif : 1 si exactement une entrée vaut 1. Règles utiles : x·y + x·ȳ = x ; x + x = x ; x·x = x.
- Théorèmes de De Morgan : non(A·B) = Ā + B̄ et non(A + B) = Ā·B̄ (on casse la barre, on change le signe). Une NAND équivaut donc à une OU à entrées inversées. Une NAND dont les deux entrées sont reliées est un inverseur ; un nombre impair d'inversions en cascade donne un inverseur.
- Symboles CEI : « & » = ET, « ≥1 » = OU, « =1 » = OU exclusif, « 1 » = porte à une entrée (avec un rond en sortie : inverseur). Circuits TTL : 7400 = 4 NAND, 7402 = 4 NOR, 7404 = 6 inverseurs, 7408 = 4 ET, 7432 = 4 OU, 7486 = 4 OU exclusif.
- Microprocesseur : l'unité centrale seule, qui a besoin de mémoires et d'interfaces extérieures. Microcontrôleur : processeur, mémoire et entrées-sorties sur une seule puce (machines à laver, télécommandes). Période d'horloge T = 1/f : 2,5 GHz donne 0,4 ns. Support ZIF (Zero Insertion Force) : on pose le processeur sans effort, un levier serre ensuite les broches.
Les formules
- Valeur d'un nombre en base b
- xyz (base b) = x × b² + y × b + z
- b = 2, 8, 10, 16
- Nombre de valeurs codées
- n bits : 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1
- nombre minimal de bits : 2ⁿ − 1 ≥ N
- Complément vrai
- −N s'écrit bⁿ − N sur n chiffres
- ou complément restreint + 1
- Simplification
- x·y + x·ȳ = x ; x + x = x
- regroupements
- De Morgan
- non(A·B) = Ā + B̄ ; non(A + B) = Ā·B̄
- NAND, NOR
- Période d'horloge
- T = 1/f
- GHz donne des ns
La méthode
- 1Pour une conversion vers le décimal, multiplie chaque chiffre par la puissance de la base qui correspond à sa position, puis additionne.
- 2Pour une conversion depuis le décimal, divise successivement par la base et lis les restes du dernier au premier (10 à 15 deviennent A à F).
- 3Entre binaire et hexadécimal (ou octal), groupe les bits par 4 (ou par 3) depuis la droite.
- 4Pour une opération dans une autre base, convertis en décimal, calcule, puis reconvertis dans la base demandée.
- 5Pour une base inconnue b, écris chaque nombre en base dix avec b comme inconnue, puis résous : si 154 et son double 330 sont écrits en base b, 2 × (b² + 5b + 4) = 3b² + 3b, d'où b² − 7b − 8 = 0, b = 8 et le nombre vaut 64 + 40 + 4 = 108.
- 6Pour simplifier une fonction, regroupe les termes qui ne diffèrent que par une variable (tu peux réutiliser un terme plusieurs fois), ou utilise un tableau de Karnaugh. Vérifie le résultat sur une ou deux lignes de la table de vérité.
- 7Première forme canonique (somme de mintermes) : un terme ET par ligne de la table de vérité où la fonction vaut 1, avec toutes les variables, barrées si elles valent 0. La fonction majorité de 3 variables vaut 1 pour 011, 101, 110 et 111 : elle a 4 termes, ābc + ab̄c + abc̄ + abc, qui se simplifient en ab + bc + ac.
Un exemple résolu
Convertis le nombre décimal 214 en binaire puis en hexadécimal, et donne le nombre minimal de bits pour coder tous les entiers de 0 à 214.
- 1.Divisions par 2 : 214 → reste 0 ; 107 → reste 1 ; 53 → reste 1 ; 26 → reste 0 ; 13 → reste 1 ; 6 → reste 0 ; 3 → reste 1 ; 1 → reste 1.
- 2.En lisant les restes de bas en haut : 214 = 11010110₂.
- 3.Contrôle : 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214.
- 4.Paquets de 4 bits depuis la droite : 1101 = 13 = D et 0110 = 6, donc 214 = D6₁₆ (contrôle : 13 × 16 + 6 = 214).
- 5.Nombre de bits : 2⁷ − 1 = 127 < 214 ≤ 2⁸ − 1 = 255, donc il faut 8 bits.
Réponse : 214 = 11010110₂ = D6₁₆, et il faut au minimum 8 bits.
Les pièges à éviter
- Additionner ou calculer comme en décimal des nombres écrits dans une autre base : (25)₈ + (17)₈ = 21 + 15 = 36 en décimal, soit 44₈, pas 42.
- Oublier la conversion finale dans la base demandée, ou confondre le reste 11 (B) avec 10 (A).
- Compter le nombre de chiffres décimaux au lieu du nombre de bits, ou oublier d'ajouter 1 au complément restreint.
- Confondre ET (intersection) et OU (réunion), ou NAND et NOR avec De Morgan.
- Confondre les références 7400 (NAND), 7402 (NOR) et 7408 (ET).
À retenir
Base b : chaque chiffre fois sa puissance de b ; un chiffre hexadécimal = 4 bits ; non(A·B) = Ā + B̄ ; 7400 = NAND, 7408 = ET.