Entre Inga et Kinshasa, l'électricité parcourt des centaines de kilomètres de lignes. Pour perdre le moins possible en route, on la transporte sous très haute tension. L'Exetat demande le courant et les pertes d'une ligne, la chute de tension, l'intérêt de l'alternatif ou du continu, les réseaux en boucle et l'effet de peau.
L'essentiel
- Les pertes dans une ligne sont des pertes Joule : 3 × R × I² en triphasé (R : résistance d'un conducteur). À puissance égale, le courant est inversement proportionnel à la tension : I = P/(√3 × U × cos φ). Doubler la tension divise le courant par 2 et les pertes par 4. C'est tout l'intérêt de la haute tension.
- L'alternatif domine parce que sa tension s'élève et s'abaisse facilement avec des transformateurs, simples et sans pièce mobile. On élève la tension à la centrale, on la transporte, puis on l'abaisse près des abonnés.
- Le courant continu à très haute tension sert aux très longues liaisons et aux câbles sous-marins : il n'a ni courant réactif ni effet de peau, donc moins de pertes. Son inconvénient : des postes de conversion coûteux à chaque extrémité.
- Chute de tension d'une ligne triphasée : ΔU ≈ √3 × I × (R cos φ + X sin φ), avec R et X d'un conducteur sur toute sa longueur. En alternatif, la réactance de la ligne compte autant que sa résistance. R va avec cos φ, X avec sin φ.
- Réseau en boucle alimenté en A : on ouvre la boucle en A, ce qui donne une ligne alimentée par ses deux bouts à la même tension. Le courant qui part de A vers B vaut I AB = Σ (Ik × dk)/L, où dk est la distance de la charge k à A en passant par L'AUTRE côté, et L la longueur totale. On suit ensuite la boucle en retranchant chaque charge.
- Le point de partage (point de tension la plus basse) est celui où le courant restant change de signe : il est alimenté par ses deux côtés. Une boucle permet aussi de continuer à alimenter les abonnés si un tronçon est coupé.
- Effet pelliculaire (effet de peau) : en alternatif, le courant se concentre près de la surface du conducteur. Profondeur de pénétration : δ = √(ρ/(π f μ)). Pour le cuivre, environ 9,3 mm à 50 Hz ; δ varie comme 1/√f (9 fois plus de fréquence, δ divisée par 3). Le cœur des gros conducteurs sert peu : on utilise des tubes creux pour les barres à fort courant, et les câbles aluminium-acier placent l'acier au centre, là où passe peu de courant.
Les formules
- Courant de ligne
- I = P/(√3 × U × cos φ)
- U entre phases
- Pertes en ligne triphasée
- p = 3 × R × I²
- R : un conducteur
- Effet de la tension
- U × k donne I/k et pertes/k²
- même puissance, même cos φ
- Chute de tension
- ΔU ≈ √3 × I × (R cos φ + X sin φ)
- tension composée
- Boucle alimentée en A
- I AB = Σ (Ik × dk)/L
- dk mesurée par l'autre côté
- Épaisseur de peau
- δ = √(ρ/(π × f × μ))
- μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m pour le cuivre
La méthode
- 1Calcule le courant avec I = P/(√3 U cos φ) : n'oublie ni √3 ni cos φ.
- 2Pour les pertes, multiplie par 3 R I² ; si la tension change à puissance égale, divise les pertes par le carré du rapport des tensions.
- 3Pour la chute de tension, calcule R et X sur toute la longueur (Ω/km × km), puis √3 × I × (R cos φ + X sin φ).
- 4Pour une boucle : additionne la longueur totale, mesure la distance de chaque charge à A par le côté opposé au tronçon cherché, applique la formule, puis suis la boucle en retranchant les charges.
- 5Contrôle de la boucle : la somme des deux courants qui partent de A doit égaler la somme des charges.
Un exemple résolu
Une boucle A-B-C-D-A, de section uniforme, est alimentée en A. Longueurs : AB = 150 m, BC = 100 m, CD = 150 m, DA = 100 m. Les charges prélèvent 30 A en B, 40 A en C et 20 A en D. Calcule le courant dans chaque tronçon et trouve le point de partage.
- 1.Longueur totale : L = 150 + 100 + 150 + 100 = 500 m.
- 2.Distances à A par l'autre côté (A, D, C, B) : B à 100 + 150 + 100 = 350 m ; C à 100 + 150 = 250 m ; D à 100 m.
- 3.I AB = (30 × 350 + 40 × 250 + 20 × 100)/500 = (10 500 + 10 000 + 2 000)/500 = 45 A.
- 4.Tronçon BC : 45 − 30 = 15 A. Tronçon CD : 15 − 40 = −25 A, donc 25 A circulent de D vers C.
- 5.Tronçon DA : 25 + 20 = 45 A, qui partent de A vers D. Contrôle : 45 + 45 = 90 A = 30 + 40 + 20.
- 6.Le courant change de sens en C : C est le point de partage, alimenté par ses deux côtés.
Réponse : AB : 45 A, BC : 15 A, CD : 25 A (de D vers C), DA : 45 A ; le point de plus faible tension est C.
Les pièges à éviter
- Diviser les pertes par 2 quand on double la tension : elles varient comme le carré du courant, donc elles sont divisées par 4.
- Oublier √3 ou cos φ dans le courant de ligne : sans cos φ, le courant sort trop petit.
- Oublier la réactance dans la chute de tension, ou associer R à sin φ et X à cos φ.
- Dans une boucle, mesurer les distances du même côté que le tronçon cherché : on obtient le courant de l'autre tronçon. Et le point de partage n'est pas forcément le plus éloigné ni le plus chargé.
- Confondre les avantages : transformation facile = alternatif ; pas de réactif ni d'effet de peau = continu.
À retenir
Doubler la tension divise les pertes par 4 ; l'alternatif se transforme facilement, le continu se transporte mieux sur de très longues distances ; dans une boucle, I AB = Σ Ik × (distance par l'autre côté)/L.