Le courant du réseau SNEL change de sens 50 fois par seconde : on le décrit par des valeurs efficaces, des impédances et des déphasages. L'Exetat demande de calculer un courant dans un circuit R, L, C, une résonance, un courant de ligne en étoile ou en triangle, et le facteur de puissance avec deux wattmètres.
L'essentiel
- Valeur efficace : c'est la valeur continue qui chaufferait autant une résistance. Pour une sinusoïde, U = U max/√2 et I = I max/√2. Les 230 V d'une prise sont une valeur efficace (le maximum vaut environ 325 V). Les puissances se calculent toujours avec les valeurs efficaces.
- Une bobine freine le courant par sa réactance X L = Lω, un condensateur par sa réactance X C = 1/(Cω), avec ω = 2πf (314 rad/s à 50 Hz). Ces oppositions sont décalées de 90° par rapport à la résistance : elles se combinent comme les côtés d'un triangle rectangle (Pythagore), jamais par simple addition.
- Impédance d'un circuit R, L, C série : Z = √(R² + (X L − X C)²), puis I = U/Z. Le déphasage φ entre tension et courant vérifie cos φ = R/Z. Pour une bobine réelle de résistance R et d'impédance Z, sa réactance vaut Lω = √(Z² − R²).
- Résonance : quand X L = X C, les deux réactances s'annulent, Z = R est minimale et le courant I = U/R est maximal. La fréquence de résonance vaut f₀ = 1/(2π√(LC)). La tension aux bornes du condensateur (ou de la bobine) peut alors dépasser largement la tension d'alimentation : c'est la surtension.
- Auto-induction : une bobine s'oppose aux variations de son propre courant. Son inductance (en henrys) pour un solénoïde long vaut L = μ₀ μr N² S/l (N : nombre de spires, S : section, l : longueur, μr : perméabilité relative du noyau, 1 dans l'air et plusieurs centaines dans le fer doux) ; quand le courant varie de ΔI en Δt, elle crée la f.é.m. e = L × ΔI/Δt. Couper brusquement un courant produit donc une forte tension (étincelle à l'interrupteur).
- Triphasé : U est la tension entre deux phases (composée), V la tension d'une phase au neutre (simple), J le courant dans un élément du récepteur. Étoile : U = √3 × V et I ligne = J. Triangle : chaque élément reçoit U et I ligne = √3 × J. Sur le réseau 400 V, V = 230 V.
- Puissance triphasée équilibrée : P = √3 × U × I × cos φ, quel que soit le couplage. Trois résistances passées d'étoile en triangle sur le même réseau reçoivent √3 fois plus de tension, donc absorbent 3 fois plus de puissance (P = U²/R).
- Méthode des deux wattmètres (ligne à trois fils) : P = W1 + W2 et Q = √3 × (W1 − W2), d'où tan φ = Q/P. Si un wattmètre dévie à l'envers, c'est que cos φ < 0,5 : on inverse son branchement et on compte sa lecture en négatif.
Les formules
- Valeurs efficaces
- U = U max/√2 ; I = I max/√2
- sinusoïde
- Réactances
- X L = Lω ; X C = 1/(Cω) ; ω = 2πf
- L en H, C en F, f en Hz
- Impédance RLC série
- Z = √(R² + (X L − X C)²) ; I = U/Z ; cos φ = R/Z
- en ohms
- Puissance active monophasée
- P = U × I × cos φ = R × I²
- valeurs efficaces
- Résonance
- f₀ = 1/(2π√(LC)) ; Z = R ; U C = I × X C
- L = 1/(Cω²) pour accorder sur ω
- Auto-induction
- L = μ₀ × μr × N² × S/l ; e = L × ΔI/Δt
- μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m, S en m², l en m
- Étoile / triangle
- Étoile : U = √3 V, I = J ; Triangle : I = √3 J
- U entre phases, J dans un élément
- Puissance triphasée
- P = √3 U I cos φ ; Q = √3 U I sin φ
- récepteur équilibré
- Deux wattmètres
- P = W1 + W2 ; Q = √3 (W1 − W2) ; tan φ = Q/P
- ligne à trois fils
- Résistance mesurée entre deux bornes
- Étoile : R bornes = 2R ; Triangle : R bornes = 2R/3
- R : un enroulement
La méthode
- 1Convertis tout en unités de base : mH en H (× 10⁻³), µF en F (× 10⁻⁶), cm² en m² (× 10⁻⁴). Si on te donne une valeur maximale, divise-la par √2.
- 2Calcule ω = 2πf, puis chaque réactance : X L = Lω et X C = 1/(Cω).
- 3Calcule Z par Pythagore, puis I = U/Z et cos φ = R/Z. Si X L = X C, tu es à la résonance : Z = R.
- 4Pour une tension partielle, multiplie le courant par l'opposition de l'élément : U R = R × I, U L = X L × I, U C = X C × I.
- 5En triphasé, repère d'abord le couplage : étoile, chaque élément reçoit V = U/√3 ; triangle, il reçoit U. Calcule J = tension de l'élément/Z, puis le courant de ligne (× √3 en triangle seulement).
- 6Avec deux wattmètres : additionne les lectures pour P, multiplie leur différence par √3 pour Q, puis tan φ = Q/P et enfin cos φ.
Un exemple résolu
Un circuit série comprend une résistance R = 40 Ω, une bobine parfaite L = 0,318 H et un condensateur C = 45,5 µF. Il est alimenté sous 220 V, 50 Hz. Calcule l'impédance, le courant, le facteur de puissance, la puissance active, puis la fréquence de résonance.
- 1.Pulsation : ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s.
- 2.Réactance de la bobine : X L = 0,318 × 314 ≈ 100 Ω.
- 3.Réactance du condensateur : X C = 1/(45,5 × 10⁻⁶ × 314) ≈ 70 Ω.
- 4.Impédance : Z = √(40² + (100 − 70)²) = √(1 600 + 900) = √2 500 = 50 Ω.
- 5.Courant : I = 220/50 = 4,4 A.
- 6.Facteur de puissance : cos φ = 40/50 = 0,8.
- 7.Puissance active : P = R × I² = 40 × 4,4² = 40 × 19,36 ≈ 774 W (contrôle : 220 × 4,4 × 0,8 = 774,4 W).
- 8.Résonance : f₀ = 1/(2π√(0,318 × 45,5 × 10⁻⁶)) = 1/(2π × 0,003 80) ≈ 41,8 Hz.
Réponse : Z = 50 Ω, I = 4,4 A, cos φ = 0,8, P ≈ 774 W, et la résonance se produit vers 41,8 Hz.
Les pièges à éviter
- Additionner R et X L en ligne droite (8 + 6 = 14 Ω au lieu de 10 Ω) : résistance et réactance sont décalées de 90°, on utilise toujours Pythagore.
- Calculer la puissance avec la valeur maximale (R × I max²) : la puissance moyenne utilise la valeur efficace, donc P = R × I max²/2.
- Se tromper dans les préfixes : 10 µF = 10 × 10⁻⁶ F = 10⁻⁵ F, et 16 cm² = 16 × 10⁻⁴ m². Une erreur de puissance de 10 décale toute la réponse.
- Multiplier par √3 en étoile pour le courant : en étoile, le courant de ligne égale le courant d'un élément ; le √3 du courant n'existe qu'en triangle.
- Prendre le rapport W2/W1 pour le facteur de puissance, ou croire qu'une lecture négative signifie une puissance négative : P = W1 + W2 reste positive.
À retenir
En alternatif, les oppositions s'ajoutent par Pythagore (Z = √(R² + (X L − X C)²)) et, en triphasé, le √3 relie la tension entre phases à la tension simple en étoile, et le courant de ligne au courant de branche en triangle.