Un moteur ou un tube fluorescent prend au réseau, en plus de la puissance utile, une puissance « réactive » qui ne fait aucun travail mais charge les câbles. L'Exetat demande d'en faire le bilan et de calculer les condensateurs qui relèvent le facteur de puissance.
L'essentiel
- Trois puissances : la puissance active P (en W) fait le travail réel (chaleur, mouvement) ; la puissance réactive Q (en var) entretient les champs magnétiques des moteurs et ballasts ; la puissance apparente S (en VA) fixe le courant, donc l'échauffement des câbles, des transformateurs et des groupes.
- Triangle des puissances : S² = P² + Q², P = S cos φ, Q = S sin φ et Q = P tan φ. Le facteur de puissance cos φ dit quelle part du courant sert vraiment. Avec cos φ = 0,5, la ligne transporte deux fois plus de courant qu'avec cos φ = 1 pour la même puissance active.
- Bilan d'une installation (méthode de Boucherot) : on additionne toutes les puissances actives, puis toutes les puissances réactives, et seulement à la fin S = √(ΣP² + ΣQ²). On n'additionne jamais directement les puissances apparentes.
- Pour un moteur, la puissance réactive dépend de la puissance ABSORBÉE : P absorbée = P utile/η. Une plaque en chevaux se convertit avec 1 ch = 736 W.
- Un condensateur fournit sur place la puissance réactive que réclame le moteur. Le réseau n'a plus à la transporter : le courant de ligne baisse, donc les pertes et les chutes de tension diminuent, et le fournisseur ne facture plus de pénalité. La puissance active du moteur ne change pas.
- Puissance des condensateurs à installer : Qc = P × (tan φ1 − tan φ2), φ1 avant et φ2 après. Pour un facteur de puissance de 1, tan φ2 = 0 et Qc = P × tan φ1.
- Un condensateur sous la tension U fournit Q = U² × C × ω = U²/X C. En triangle, chacun est sous la tension composée U ; en étoile, sous V = U/√3. Pour la même puissance, le triangle demande trois fois moins de capacité : c'est le montage préféré.
- Un groupe électrogène ou un transformateur se choisit en kVA (puissance apparente), au calibre normalisé immédiatement supérieur au besoin calculé.
Les formules
- Triangle des puissances
- S = √(P² + Q²) ; P = S cos φ ; Q = S sin φ = P tan φ
- P en W, Q en var, S en VA
- Puissances en triphasé
- P = √3 U I cos φ ; Q = √3 U I sin φ ; S = √3 U I
- U entre phases
- Courant absorbé
- I = P/(U cos φ) en monophasé ; I = P/(√3 U cos φ) en triphasé
- P absorbée
- Boucherot
- P tot = ΣP ; Q tot = ΣQ ; S tot = √(P tot² + Q tot²)
- jamais ΣS
- Compensation
- Qc = P × (tan φ1 − tan φ2)
- φ1 avant, φ2 après
- Capacité en triangle
- C = Qc/(3 × U² × ω)
- ω = 2πf
- Capacité en étoile
- C = Qc/(U² × ω)
- chaque condensateur sous U/√3
- Puissance moyenne d'après les compteurs
- P = énergie active/durée ; Q = énergie réactive/durée
- kWh/h = kW ; kvarh/h = kvar
La méthode
- 1Trouve la puissance active absorbée : P utile/η pour un moteur, énergie/durée si on te donne des relevés de compteurs.
- 2Calcule tan φ1 à partir du cos φ1 donné (touche cos⁻¹ puis tan, ou tan φ = sin φ/cos φ), et tan φ2 à partir du cos φ visé.
- 3Calcule Qc = P × (tan φ1 − tan φ2).
- 4Repère la tension sous laquelle se trouve chaque condensateur : U en triangle, U/√3 en étoile. Chacun fournit Qc/3.
- 5Déduis la capacité C = Q par condensateur/(tension² × ω), ou la réactance X C = tension²/Q par condensateur. Convertis en µF (× 10⁶).
- 6Pour un bilan, dresse un tableau P et Q de chaque récepteur, additionne chaque colonne, puis calcule S et le courant.
Un exemple résolu
Une installation triphasée 400 V, 50 Hz absorbe 30 kW avec cos φ = 0,75. On veut relever le facteur de puissance à 0,93 avec trois condensateurs couplés en triangle. Calcule la puissance réactive à installer, la capacité de chaque condensateur et le courant de ligne avant et après.
- 1.Avant : cos φ1 = 0,75 donne tan φ1 ≈ 0,882. Après : cos φ2 = 0,93 donne tan φ2 ≈ 0,395.
- 2.Qc = 30 000 × (0,882 − 0,395) = 30 000 × 0,487 ≈ 14 600 var, soit 14,6 kvar.
- 3.En triangle, chaque condensateur est sous U = 400 V. ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s.
- 4.C = 14 600/(3 × 400² × 314) = 14 600/150 800 000 ≈ 96,8 × 10⁻⁶ F, soit environ 96,8 µF.
- 5.Courant avant : I1 = 30 000/(√3 × 400 × 0,75) ≈ 57,7 A.
- 6.Courant après : I2 = 30 000/(√3 × 400 × 0,93) ≈ 46,6 A. La puissance active n'a pas changé, mais la ligne porte 11 A de moins.
Réponse : Qc ≈ 14,6 kvar, C ≈ 96,8 µF par condensateur en triangle, et le courant de ligne passe d'environ 57,7 A à 46,6 A.
Les pièges à éviter
- Calculer avec la puissance utile d'un moteur au lieu de la puissance absorbée (P utile/η) : la réponse sort trop petite.
- Compenser tout le réactif (Qc = P tan φ1) alors qu'on demande seulement d'atteindre 0,9 ou 0,93 : il faut soustraire P tan φ2.
- Multiplier P par sin φ : sin φ s'applique à S. Avec P, on utilise toujours tan φ.
- Confondre étoile et triangle pour les condensateurs : en étoile, la capacité est trois fois plus grande que celle trouvée en triangle. Écris toujours la tension aux bornes d'UN condensateur.
- Additionner les puissances apparentes de plusieurs récepteurs (50 + 20 = 70 kVA) : leurs courants ne sont pas en phase. Additionne P d'un côté, Q de l'autre.
À retenir
Qc = P × (tan φ1 − tan φ2) avec P absorbée ; en triangle C = Qc/(3U²ω), en étoile C = Qc/(U²ω).