Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche de plus en plus, aussi près qu'on veut, quand x part vers l'infini ou s'approche d'une valeur interdite, comme une route qui longe un fleuve. Pour une fraction rationnelle, on les lit presque directement sur les degrés et sur le dénominateur : c'est un item fréquent et rapide.
L'essentiel
- Asymptote verticale (A.V.) x = a : elle apparaît là où le dénominateur s'annule et pas le numérateur ; f(x) part alors vers +∞ ou −∞. Si les deux s'annulent en a, simplifie d'abord par (x − a) : il n'y a souvent plus d'asymptote en a.
- Asymptote horizontale (A.H.) y = b : quand x tend vers ±∞, f(x) tend vers b. Pour une fraction de polynômes de même degré, b est le quotient des coefficients dominants ; si le degré du haut est plus petit, b = 0.
- Asymptote oblique (A.O.) y = ax + b : elle existe quand le degré du numérateur dépasse de 1 celui du dénominateur. La division euclidienne donne f(x) = ax + b + reste/dénominateur, et ce dernier terme tend vers 0.
- Décomposition f(x) = ax + b + c/(x − d) : on l'obtient par division euclidienne du numérateur par (x − d). Le reste de la division est c, et on peut le vérifier rapidement : c = numérateur calculé en x = d.
- Position de la courbe par rapport à l'asymptote : on étudie le signe de f(x) − (ax + b). S'il est positif, la courbe est au-dessus ; s'il est négatif, elle est au-dessous.
- Pour une fonction « degré 2 sur degré 1 », les deux asymptotes se coupent au centre de symétrie de la courbe.
Les formules
- Asymptote verticale
- x = a si lim f(x) = ±∞ quand x → a
- a racine du dénominateur seulement
- Asymptote horizontale
- y = b si lim f(x) = b quand x → ±∞
- Asymptote oblique
- y = ax + b avec a = lim f(x)/x et b = lim [f(x) − ax]
- x → ±∞
- Décomposition
- f(x) = ax + b + c/(x − d)
- c = valeur du numérateur en x = d
- Position
- signe de f(x) − (ax + b)
- > 0 : courbe au-dessus ; < 0 : au-dessous
La méthode
- 1Factorise le dénominateur et cherche ses racines ; vérifie que le numérateur ne s'annule pas aussi (sinon simplifie).
- 2Compare les degrés : même degré, A.H. y = quotient des coefficients dominants ; degré du haut plus petit, A.H. y = 0 ; un degré de plus, A.O. par division.
- 3Pour l'A.O., fais la division euclidienne et écris f(x) = ax + b + reste/dénominateur.
- 4Pour la position, étudie le signe du reste/dénominateur selon les intervalles.
- 5Pour trouver des paramètres, traduis chaque asymptote donnée : racines du dénominateur pour les A.V., coefficients dominants pour l'A.H. ou l'A.O.
Un exemple résolu
Soit f(x) = (2x² + x − 1)/(x + 2). Écris f(x) = ax + b + c/(x + 2), donne les asymptotes de la courbe et la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
- 1.Division de 2x² + x − 1 par x + 2 : 2x × (x + 2) = 2x² + 4x ; il reste x − 1 − 4x = −3x − 1.
- 2.−3 × (x + 2) = −3x − 6 ; il reste −3x − 1 − (−3x − 6) = 5.
- 3.Donc f(x) = 2x − 3 + 5/(x + 2). Vérification du reste : en x = −2, le numérateur vaut 8 − 2 − 1 = 5.
- 4.A.V. : x + 2 = 0 donne x = −2 (le numérateur y vaut 5 ≠ 0).
- 5.A.O. : 5/(x + 2) tend vers 0 à l'infini, donc y = 2x − 3.
- 6.Position : f(x) − (2x − 3) = 5/(x + 2), positif pour x > −2 et négatif pour x < −2.
- 7.Les asymptotes se coupent en x = −2, y = 2 × (−2) − 3 = −7 : c'est le centre de symétrie (−2 ; −7).
Réponse : f(x) = 2x − 3 + 5/(x + 2) ; asymptotes x = −2 et y = 2x − 3 ; la courbe est au-dessus de l'A.O. pour x > −2 et au-dessous pour x < −2.
Les pièges à éviter
- Garder une fausse asymptote verticale : (3x² − 5x + 2)/(x² − 3x + 2) = (3x − 2)(x − 1)/[(x − 1)(x − 2)], donc la seule A.V. est x = 2.
- Oublier les signes dans la division euclidienne : écris chaque soustraction en entier et vérifie le reste en remplaçant x par d.
- Prendre le reste c comme ordonnée à l'origine de l'asymptote : l'asymptote est y = ax + b, le reste c n'y figure pas.
- Quand le dénominateur est un carré, comme (x − 2)², il faut diviser par le trinôme développé x² − 4x + 4, pas par x − 2.
- Appliquer « c = numérateur en x = d » quand le dénominateur a un coefficient : pour (x + 2)²/(3x), divise chaque terme par 3x : (x² + 4x + 4)/(3x) = x/3 + 4/3 + 4/(3x), donc a = 1/3, b = 4/3 et c = 4/3.
À retenir
A.V. : racines du dénominateur seul ; A.H. : comparer les degrés ; A.O. : division euclidienne ; position : signe de f(x) − asymptote.