Ce sont les calculs de tous les jours : une remise au marché, un capital placé à la banque, une conversion d'unités, un nombre écrit en binaire. À l'Exetat, ces items sont rapides si tu connais la bonne formule et que tu poses le calcul proprement.
L'essentiel
- Équation du premier degré : on regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre, en changeant le signe de tout terme qui traverse le signe =. Exemple : 3x − 7 = 2x + 5 donne 3x − 2x = 5 + 7, donc x = 12.
- Pourcentage : augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t/100) ; diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t/100). Pour retrouver un prix avant remise, on divise par ce coefficient, on ne rajoute pas le pourcentage au prix final.
- Intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour. Après n années au taux t, le capital C devient C × (1 + t)ⁿ. Aux intérêts simples, l'intérêt reste le même chaque année : C × t × n.
- Suite arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison. Suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre q.
- Binaire (base 2) : on n'utilise que 0 et 1, et chaque rang vaut une puissance de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…). Pour lire un nombre binaire, on additionne les puissances de 2 placées sous les 1 : 1101101 = 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109. Pour écrire un nombre décimal en binaire, on le divise par 2 encore et encore, puis on lit les restes du dernier au premier : 186 donne 10111010.
- Rapport et proportion : pour comparer deux durées ou deux grandeurs, on les exprime d'abord dans la même unité (tout en mois, tout en mètres), puis on simplifie la fraction.
- Fraction décimale : fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000…), comme 7/100. Une fraction comme 2/3 n'en est pas une.
- Puissances : (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Exemple : (2³)² × 2⁻⁴ = 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
Les formules
- Intérêts composés
- Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ
- C₀ capital de départ, t taux annuel en décimal (10 % = 0,10), n nombre d'années
- Intérêts simples
- I = C₀ × t × n
- même intérêt chaque année
- Terme d'une suite arithmétique
- uₙ = u₁ + (n − 1) × r
- u₁ premier terme, r raison
- Somme de n termes arithmétiques
- Sₙ = n × (u₁ + uₙ)/2
- nombre de termes × moyenne du premier et du dernier
- Terme d'une suite géométrique
- uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
- q raison
- Variation en pourcentage
- valeur finale = valeur initiale × (1 ± t/100)
- + pour une hausse, − pour une baisse
La méthode
- 1Repère le type de calcul : équation, pourcentage, suite, intérêts, conversion ou base 2.
- 2Écris la formule correspondante avant de remplacer quoi que ce soit.
- 3Mets toutes les grandeurs dans la même unité et le taux en décimal (8 % = 0,08).
- 4Fais le calcul étape par étape, en gardant les résultats intermédiaires exacts.
- 5Contrôle l'ordre de grandeur : un capital placé grandit, un prix remisé baisse, un nombre binaire de 7 chiffres est compris entre 64 et 127.
Un exemple résolu
Un commerçant de Kinshasa place 500 000 FC à intérêts composés au taux annuel de 8 %. Quelle est la valeur acquise au bout de 3 ans ?
- 1.Formule des intérêts composés : C₃ = C₀ × (1 + t)³, avec C₀ = 500 000 et t = 0,08.
- 2.Coefficient annuel : 1 + 0,08 = 1,08.
- 3.1,08² = 1,08 × 1,08 = 1,1664.
- 4.1,08³ = 1,1664 × 1,08 = 1,259712.
- 5.C₃ = 500 000 × 1,259712 = 629 856 FC.
- 6.Contrôle : les intérêts gagnés valent 629 856 − 500 000 = 129 856 FC, un peu plus que 3 × 40 000 = 120 000 FC des intérêts simples, ce qui est normal.
Réponse : La valeur acquise est 629 856 FC.
Les pièges à éviter
- Confondre intérêts simples et composés : 10 % pendant 2 ans sur 1 000 000 FC donne 1 210 000 FC en composés, pas 1 200 000 FC.
- Retrouver un prix avant remise en ajoutant le pourcentage : si 48 000 FC est le prix après 20 % de remise, l'ancien prix est 48 000 / 0,8 = 60 000 FC, pas 48 000 × 1,2 = 57 600 FC.
- Oublier le « n − 1 » dans uₙ = u₁ + (n − 1)r : le dixième terme d'une suite de premier terme 5 et de raison 3 vaut 5 + 9 × 3 = 32, pas 35.
- Comparer des durées sans les convertir : 2 ans 8 mois = 32 mois et 3 ans 4 mois = 40 mois, donc le rapport vaut 32/40 = 4/5.
- En binaire, lire les rangs dans le mauvais sens : le chiffre le plus à droite vaut 1, le suivant 2, puis 4, 8, etc.
À retenir
Pourcentage : multiplier par (1 ± t/100) ; intérêts composés : C × (1 + t)ⁿ ; suite arithmétique : uₙ = u₁ + (n − 1)r et Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2.