Étudier une fonction, c'est rassembler tout ce qu'on sait d'elle (domaine, limites, asymptotes, variations, signe, symétries) pour imaginer sa courbe. À l'Exetat, on te demande souvent un centre ou un axe de symétrie, ou de repérer la proposition vraie (ou fausse) parmi plusieurs propriétés.
L'essentiel
- Centre de symétrie d'une hyperbole (fraction « degré 2 sur degré 1 » ou homographique) : c'est le point où se croisent ses deux asymptotes. Pour f(x) = (ax + b)/(cx + d), le centre est (−d/c ; a/c).
- Centre de symétrie d'une cubique ax³ + bx² + cx + d : c'est son point d'inflexion, d'abscisse −b/(3a).
- Axe de symétrie vertical : la parabole y = ax² + bx + c a pour axe x = −b/(2a). Une fonction 1/(trinôme), comme 1/(x² − 6x + 5), a le même axe que le trinôme, ici x = 3.
- Tests généraux : la droite x = a est axe de symétrie si f(2a − x) = f(x) ; le point (a ; b) est centre de symétrie si f(2a − x) + f(x) = 2b, pour tout x du domaine.
- Signe d'un produit ou d'un quotient comme (x + 1)(x − 4)/(x − 2) : on fait un tableau de signes, facteur par facteur. Les zéros du numérateur peuvent être inclus (crochet fermé) si on demande ≤ 0 ou ≥ 0 ; les zéros du dénominateur sont toujours exclus.
- Intersections avec les axes : avec l'axe Ox, on résout f(x) = 0 (numérateur nul) ; avec l'axe Oy, on calcule f(0).
- Équation f(x) = 0 avec une seule solution α : si f est continue et strictement monotone sur [p ; q] et si f(p) et f(q) sont de signes contraires, alors α est unique et se trouve entre p et q (théorème des valeurs intermédiaires).
- Fonction algébrique : construite avec les opérations + − × ÷ et les racines (polynômes, fractions, radicaux). Fonction transcendante : qui ne l'est pas, comme eˣ, ln x ou sin x.
Les formules
- Centre d'une homographique
- f(x) = (ax + b)/(cx + d) : centre (−d/c ; a/c)
- Centre d'une fraction degré 2 sur degré 1
- f(x) = mx + p + r/(x − d) : centre (d ; md + p)
- Axe de symétrie
- x = a si f(2a − x) = f(x)
- pour une parabole y = αx² + βx + γ, l'axe est x = −β/(2α)
- Centre de symétrie
- (a ; b) si f(2a − x) + f(x) = 2b
La méthode
- 1Repère la famille de la fonction : homographique, degré 2 sur degré 1, cubique, 1/trinôme, fonction avec ln ou exp.
- 2Pour un centre d'hyperbole : asymptote verticale x = d, asymptote oblique ou horizontale par division, puis remplace x = d dans l'équation de l'asymptote.
- 3Pour une cubique : calcule −b/(3a), puis f de cette valeur.
- 4Pour vérifier une proposition « vraie ou fausse », contrôle chaque affirmation avec un calcul rapide (une limite, f′ en un point, le signe de f′) et élimine.
- 5Pour localiser une solution α, calcule f aux bornes de chaque intervalle proposé et garde celui où le signe change.
- 6Contrôle un centre avec le test f(2a − x) + f(x) = 2b sur une valeur simple.
Un exemple résolu
Détermine le centre de symétrie de la courbe de f(x) = (x² − 3x + 4)/(x − 1).
- 1.Division euclidienne : x² − 3x + 4 = (x − 1)(x − 2) + 2. Vérification : (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2, et 2 + 2 = 4.
- 2.Donc f(x) = x − 2 + 2/(x − 1).
- 3.Asymptote verticale : x = 1. Asymptote oblique : y = x − 2.
- 4.Point de rencontre : x = 1 dans y = x − 2 donne y = −1. Le centre est (1 ; −1).
- 5.Vérification par le test : f(2 − x) = (2 − x) − 2 + 2/(1 − x) = −x − 2/(x − 1).
- 6.f(2 − x) + f(x) = −x − 2/(x − 1) + x − 2 + 2/(x − 1) = −2 = 2 × (−1). Le test confirme b = −1.
Réponse : Le centre de symétrie est le point (1 ; −1).
Les pièges à éviter
- Prendre le reste de la division ou le terme constant du numérateur comme ordonnée du centre : l'ordonnée se lit sur l'asymptote, en remplaçant x par la valeur interdite.
- Se tromper de signe sur l'abscisse : le dénominateur x + 1 s'annule en −1, pas en 1.
- Pour (1 − x) au dénominateur, oublier le signe : (x² + x + 4)/(1 − x) = −x − 2 + 6/(1 − x), donc l'asymptote est y = −x − 2 et le centre (1 ; −3).
- Dans un tableau de signes, fermer le crochet sur une valeur qui annule le dénominateur.
À retenir
Centre d'une hyperbole : intersection des asymptotes (pour (ax + b)/(cx + d), c'est (−d/c ; a/c)) ; centre d'une cubique : son point d'inflexion ; axe d'une parabole : x = −b/(2a).