Une fonction est continue quand on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. À l'Exetat, on te demande surtout la valeur d'un paramètre qui « recolle » la courbe en un point, ce qui revient à calculer une limite.
L'essentiel
- f est continue en a si trois conditions sont réunies : f(a) existe, la limite de f(x) quand x tend vers a existe, et cette limite est égale à f(a).
- Les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, racines, ln, exp, sin, cos) sont continues partout où elles sont définies. Leur domaine de continuité est donc leur domaine de définition.
- Fonction définie par une formule pour x ≠ a et par une valeur à part en a : on calcule la limite de la formule en a (souvent une forme 0/0), puis on écrit que la valeur f(a) donnée est égale à cette limite.
- Fonction définie par morceaux (une formule à gauche de a, une autre à droite) : on calcule la limite à gauche et la limite à droite. f est continue en a si les deux sont égales à f(a).
- Prolongement par continuité : si f n'est pas définie en a mais a une limite finie L en a, on peut la prolonger en posant f(a) = L. La nouvelle fonction est continue en a.
- Dérivable implique continue, mais pas l'inverse. |x − 2| est continue en 2 mais pas dérivable (la courbe fait un angle) ; ∛x est continue en 0 mais pas dérivable, sa courbe y a une tangente verticale.
Les formules
- Continuité en a
- lim f(x) = f(a)
- x → a
- Fonction par morceaux
- lim f(x) (x → a⁻) = lim f(x) (x → a⁺) = f(a)
- Factorisations utiles
- x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²) ; x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
La méthode
- 1Repère le point a où la formule change ou pose problème.
- 2Calcule la limite de la formule quand x tend vers a : si c'est 0/0, factorise par (x − a) ou multiplie par le conjugué.
- 3Écris l'égalité « valeur imposée en a = limite », par exemple 3k − 1 = 6.
- 4Résous cette équation pour trouver le paramètre.
- 5Pour un domaine de continuité, applique simplement les règles du domaine de définition (dénominateur non nul, radicande positif…).
Un exemple résolu
On définit f(x) = (x² + x − 12)/(x − 3) si x ≠ 3, et f(3) = 2k + 1. Pour quelle valeur de k la fonction f est-elle continue en 3 ?
- 1.En x = 3, la formule donne (9 + 3 − 12)/0 = 0/0 : forme indéterminée, donc 3 est racine du numérateur.
- 2.On factorise : x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4). Vérification : (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12.
- 3.Pour x ≠ 3, f(x) = x + 4.
- 4.Limite quand x tend vers 3 : 3 + 4 = 7.
- 5.Continuité : f(3) = 7, donc 2k + 1 = 7.
- 6.2k = 6, donc k = 3.
Réponse : f est continue en 3 pour k = 3.
Les pièges à éviter
- Répondre avec la limite au lieu du paramètre : si la limite vaut 6 et f(3) = 3k, alors k = 2, et non 6.
- Croire qu'une fonction est continue en a dès qu'elle y est définie : il faut aussi que la limite soit égale à f(a).
- Oublier un signe en factorisant x³ + 8 : c'est (x + 2)(x² − 2x + 4), qui vaut 4 + 4 + 4 = 12 en x = −2.
- Confondre continuité et dérivabilité : une courbe avec un angle (comme |x − 2|) est continue mais pas dérivable en ce point.
À retenir
Continue en a signifie lim f(x) = f(a) quand x → a : on calcule la limite, puis on l'égale à la valeur imposée.