Le signe de la dérivée dit si la courbe monte ou descend, comme le panneau qui annonce une montée ou une descente sur la route. Là où elle change de signe, la courbe atteint un sommet (maximum) ou un creux (minimum) : c'est ce que demandent ces items.
L'essentiel
- Si f′(x) > 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle (la courbe monte quand on va vers la droite). Si f′(x) < 0, f est décroissante.
- Un extremum relatif (ou local) est un maximum ou un minimum « dans le voisinage » : le point le plus haut ou le plus bas de la courbe autour de lui, pas forcément sur toute la courbe.
- f a un extremum en a si f′(a) = 0 ET si f′ change de signe en a. De + à − : maximum (la courbe monte puis descend). De − à + : minimum.
- f′(a) = 0 ne suffit pas : pour f(x) = x³, f′(0) = 0 mais f′ ne change pas de signe, il n'y a pas d'extremum.
- Pour une fraction, le dénominateur de f′ est souvent un carré, donc positif : le signe de f′ est celui du numérateur. Attention aux valeurs interdites, qui coupent les intervalles.
- Les coordonnées de l'extremum sont (a ; f(a)) : l'ordonnée se calcule avec f, pas avec f′.
- Pour un trinôme ax² + bx + c, l'extremum est atteint en x = −b/(2a) : c'est un minimum si a > 0, un maximum si a < 0.
Les formules
- Sens de variation
- f′ > 0 : f croissante ; f′ < 0 : f décroissante
- Condition d'extremum
- f′(a) = 0 et f′ change de signe en a
- Sommet d'une parabole
- x = −b/(2a) pour f(x) = ax² + bx + c
- Dérivée d'un quotient
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
La méthode
- 1Note le domaine de définition et les valeurs interdites.
- 2Calcule f′(x) et factorise son numérateur.
- 3Cherche les valeurs où f′(x) = 0.
- 4Dresse le tableau de signes de f′ (en tenant compte des valeurs interdites), puis le tableau de variation de f.
- 5Lis les extremums : changement + vers − pour un maximum, − vers + pour un minimum.
- 6Calcule l'ordonnée de chaque extremum avec la formule de f.
Un exemple résolu
Soit f(x) = (x² + 8)/(x − 1). Étudie le sens de variation de f et donne ses extremums relatifs.
- 1.Domaine : x ≠ 1.
- 2.f′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 8)]/(x − 1)² = (2x² − 2x − x² − 8)/(x − 1)² = (x² − 2x − 8)/(x − 1)².
- 3.Numérateur : x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2), nul en x = −2 et x = 4.
- 4.Le dénominateur (x − 1)² est positif. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines : f′ > 0 sur ]−∞ ; −2[ et ]4 ; +∞[, f′ < 0 sur ]−2 ; 1[ et ]1 ; 4[.
- 5.En x = −2, f′ passe de + à − : maximum relatif. f(−2) = (4 + 8)/(−3) = −4.
- 6.En x = 4, f′ passe de − à + : minimum relatif. f(4) = (16 + 8)/3 = 8.
- 7.Remarque : le maximum (−4) est plus petit que le minimum (8). C'est normal, ils sont sur deux branches différentes séparées par l'asymptote x = 1.
Réponse : f est croissante sur ]−∞ ; −2] et sur [4 ; +∞[, décroissante sur [−2 ; 1[ et sur ]1 ; 4] ; maximum relatif (−2 ; −4) et minimum relatif (4 ; 8).
Les pièges à éviter
- Inverser maximum et minimum : regarde le changement de signe de f′ (+ puis − donne un maximum), pas la valeur de f.
- Réunir deux intervalles séparés par une valeur interdite : écris « décroissante sur [−2 ; 1[ et sur ]1 ; 4] », pas sur [−2 ; 4].
- Donner f′(a) comme ordonnée de l'extremum : elle vaut toujours 0 ; l'ordonnée est f(a).
- Oublier un signe moins devant le numérateur de f′ : par exemple f′(x) = −(x + 3)(x − 1)/(x² + 3)² est négative à l'extérieur de [−3 ; 1].
- Croire que le dénominateur de f′ est toujours positif : s'il est au cube, il change de signe. Pour f′(x) = 5(x − 3)/(x − 1)³, f′ > 0 sur ]−∞ ; 1[ et ]3 ; +∞[, f′ < 0 sur ]1 ; 3[ : minimum en x = 3.
À retenir
Signe de f′ : + la courbe monte, − elle descend ; un extremum est là où f′ s'annule en changeant de signe, et son ordonnée se calcule avec f.