La tangente en un point est la droite qui « effleure » la courbe à cet endroit et suit sa direction, comme une règle posée contre un ballon. Sa pente est le nombre dérivé : avec f(a) et f′(a), tu écris son équation en une ligne.
L'essentiel
- La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a passe par le point (a ; f(a)) et a pour coefficient directeur (pente) f′(a).
- Son équation est y = f′(a)(x − a) + f(a). Il faut donc toujours calculer deux nombres : f(a) et f′(a).
- Tangente horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) : f′(a) = 0. Elle a alors pour équation y = f(a). C'est souvent le signe d'un maximum ou d'un minimum.
- Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente ; elles sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut −1. Une tangente parallèle à y = 3x + 1 vérifie donc f′(a) = 3 ; une tangente perpendiculaire vérifie f′(a) = −1/3.
- La normale au point d'abscisse a est la droite perpendiculaire à la tangente en ce point : sa pente est −1/f′(a).
- Pour trouver des paramètres (par exemple a et b dans f(x) = ax + b + 4/x), on traduit chaque information en équation : « la courbe passe par (2 ; 3) » donne f(2) = 3, « la tangente y a pour pente 3 » donne f′(2) = 3. On résout le système.
- Pour une courbe donnée par une équation en x et y, on dérive en traitant y comme une fonction de x, on calcule y′ au point, puis on utilise la même formule.
Les formules
- Équation de la tangente
- y = f′(a)(x − a) + f(a)
- Pente de la normale
- m = −1/f′(a)
- si f′(a) ≠ 0
- Droites parallèles et perpendiculaires
- parallèles : m = m′ ; perpendiculaires : m × m′ = −1
- Droite de pente m passant par (x₀ ; y₀)
- y − y₀ = m(x − x₀)
La méthode
- 1Calcule f(a), l'ordonnée du point de contact.
- 2Calcule f′(x), puis f′(a), la pente de la tangente.
- 3Écris y = f′(a)(x − a) + f(a) et développe pour obtenir y = mx + p.
- 4Si les propositions sont sous la forme ux + vy + w = 0, transforme ton équation (multiplie pour enlever les fractions, puis passe tout du même côté).
- 5Si on demande où la tangente coupe un axe ou une autre droite, résous le système formé par les deux équations (y = 0 pour l'axe Ox, x = 0 pour l'axe Oy).
- 6Si on cherche le point où la pente vaut m, résous f′(x) = m.
Un exemple résolu
Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 1). Donne l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2, puis le point où elle coupe l'axe des abscisses.
- 1.f(2) = (4 + 1)/(2 − 1) = 5. Le point de contact est (2 ; 5).
- 2.Formule de l'homographique : f′(x) = (2 × (−1) − 1 × 1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)².
- 3.f′(2) = −3/1² = −3.
- 4.Tangente : y = −3(x − 2) + 5 = −3x + 6 + 5, soit y = −3x + 11.
- 5.Contrôle : en x = 2, −6 + 11 = 5. La droite passe bien par le point de contact.
- 6.Intersection avec l'axe des abscisses : y = 0 donne −3x + 11 = 0, soit x = 11/3.
Réponse : La tangente a pour équation y = −3x + 11 (ou 3x + y − 11 = 0) et coupe l'axe des abscisses au point (11/3 ; 0).
Les pièges à éviter
- Oublier de calculer f(a) et écrire y = f′(a)x : la tangente ne passerait alors pas par le point de contact.
- Utiliser la pente de la tangente pour la normale : la normale a pour pente −1/f′(a).
- Pour une perpendiculaire à y − 2x = 0, prendre la pente 2 ou −2 : la pente de la droite est 2, celle de la perpendiculaire est −1/2.
- Mal recopier la forme ux + vy + w = 0 : vérifie ton équation en remplaçant les coordonnées du point de contact.
À retenir
Tangente au point d'abscisse a : y = f′(a)(x − a) + f(a) ; horizontale si f′(a) = 0 ; parallèle si même pente, perpendiculaire si produit des pentes égal à −1.