Le logarithme et l'exponentielle sont deux fonctions qui se défont l'une l'autre : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x. Le logarithme transforme les produits en sommes, ce qui permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant. À l'Exetat : équations, inéquations et simplifications.
L'essentiel
- ln x n'existe que pour x > 0, alors que eˣ existe pour tout x et est toujours strictement positif. Première étape de tout exercice : écrire les conditions d'existence.
- Règles de calcul : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a ; eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ.
- Valeurs à connaître : ln 1 = 0, ln e = 1, e⁰ = 1. ln x < 0 pour 0 < x < 1 et ln x > 0 pour x > 1.
- ln et exp sont strictement croissantes : ln a = ln b ⟺ a = b, et ln a < ln b ⟺ a < b (avec a, b > 0). Même chose pour eᵃ et eᵇ.
- Logarithme de base a : logₐ x = ln x / ln a ; log x (base 10) = ln x / ln 10. Si la base est entre 0 et 1 (par exemple 1/2), la fonction est décroissante : une inégalité change de sens.
- Équations du type e²ˣ − 3eˣ + 2 = 0 ou ln²x + ln x − 6 = 0 : on pose X = eˣ (ou X = ln x), on résout l'équation du second degré en X, puis on revient à x. Avec X = eˣ, seules les valeurs X > 0 conviennent.
- Puissance quelconque : aˣ = e^(x ln a). Une équation comme 5^(x² − 3x − 2) = 25 = 5² se ramène à l'égalité des exposants : x² − 3x − 2 = 2.
Les formules
- Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a
- a > 0, b > 0
- Réciprocité
- e^(ln x) = x (x > 0) ; ln(eˣ) = x
- Changement de base
- logₐ x = ln x / ln a
- Puissance
- aˣ = e^(x ln a)
- a > 0
- Équation de base
- ln x = k ⟺ x = eᵏ ; eˣ = k ⟺ x = ln k (k > 0)
La méthode
- 1Écris les conditions d'existence (chaque ln doit avoir un argument strictement positif) et déduis-en l'ensemble où l'on cherche les solutions.
- 2Regroupe les logarithmes en un seul avec les règles : ln A + ln B = ln(AB).
- 3Supprime les ln (ou les exp) en utilisant la croissance : ln A = ln B devient A = B, ln A ≤ ln B devient A ≤ B (sens inversé si la base est entre 0 et 1).
- 4Si l'expression contient e²ˣ et eˣ (ou ln²x et ln x), pose X = eˣ (ou X = ln x) et résous en X.
- 5Résous l'équation ou l'inéquation obtenue, puis garde seulement les solutions qui respectent les conditions d'existence.
Un exemple résolu
Résous dans ℝ l'inéquation ln(x − 1) + ln(x + 3) ≤ ln 5.
- 1.Conditions : x − 1 > 0 et x + 3 > 0, donc x > 1. On cherche les solutions dans ]1 ; +∞[.
- 2.On regroupe : ln[(x − 1)(x + 3)] ≤ ln 5.
- 3.ln est croissante : (x − 1)(x + 3) ≤ 5, soit x² + 2x − 3 ≤ 5, donc x² + 2x − 8 ≤ 0.
- 4.Racines de x² + 2x − 8 : Δ = 4 + 32 = 36, x = (−2 − 6)/2 = −4 ou x = (−2 + 6)/2 = 2.
- 5.Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines : −4 ≤ x ≤ 2.
- 6.On croise avec la condition x > 1 : 1 < x ≤ 2.
- 7.Contrôle avec x = 2 : ln 1 + ln 5 = ln 5, l'égalité est atteinte, donc 2 est inclus.
Réponse : S = ]1 ; 2].
Les pièges à éviter
- Oublier les conditions d'existence : pour ln(x − 1) + ln(x + 3) ≤ ln 5, on garderait [−4 ; 2], alors que la bonne réponse est ]1 ; 2].
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : c'est faux. Seul le produit devient une somme.
- Ne pas changer le sens d'une inégalité avec une base entre 0 et 1 : log₁/₂(x + 5) < log₁/₂(3 − x) donne x + 5 > 3 − x.
- Garder une valeur X ≤ 0 après le changement X = eˣ : eˣ ne peut jamais être négatif ni nul.
- Confondre ln²x = (ln x)² et ln(x²) = 2 ln x.
À retenir
Conditions d'existence d'abord, puis ln(ab) = ln a + ln b pour regrouper, puis on enlève les ln grâce à la croissance, et on vérifie les solutions.