Chercher une primitive, c'est faire la dérivation à l'envers : trouver F telle que F′ = f. L'intégrale de a à b vaut alors F(b) − F(a). À l'Exetat, il faut reconnaître la bonne forme (u′/u, Arctg, arcsin…) ou choisir la bonne technique (intégration par parties, décomposition).
L'essentiel
- F est une primitive de f si F′(x) = f(x). Deux primitives diffèrent d'une constante, d'où le « + C ». Pour vérifier une réponse, il suffit de dériver la primitive proposée.
- Intégrale : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ₐᵇ. On calcule F à la borne du haut moins F à la borne du bas.
- Propriétés : ∫ₐᵇ (f + g) = ∫ₐᵇ f + ∫ₐᵇ g, ∫ₐᵇ kf = k∫ₐᵇ f, ∫ₐᵃ f = 0, inverser les bornes change le signe (l'intégrale de b à a vaut −∫ₐᵇ f), et la relation de Chasles : l'intégrale de a à c est égale à l'intégrale de a à b plus l'intégrale de b à c. En revanche, l'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales.
- Repérer une dérivée cachée : u′/u se primitive en ln|u| ; u′uⁿ en uⁿ⁺¹/(n + 1) ; u′eᵘ en eᵘ ; u′/√u en 2√u. Exemple : x/(x² + 1) = (1/2) × 2x/(x² + 1), primitive (1/2) ln(x² + 1).
- Trinôme sans racine au dénominateur : on écrit la forme canonique, par exemple x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4, puis on utilise 1/(u² + a²) qui donne (1/a) Arctg(u/a). Racine de « a² − b²x² » au dénominateur : arcsin.
- Trinôme avec deux racines au dénominateur : on décompose en éléments simples, par exemple 1/[(x − 1)(x − 3)] = (1/2)[1/(x − 3) − 1/(x − 1)]. Fraction dont le numérateur a un degré supérieur ou égal : on fait d'abord la division euclidienne.
- Intégration par parties : ∫ u v′ = [uv] − ∫ u′v. On l'utilise pour un produit polynôme × eˣ, polynôme × ln x, polynôme × sin x. Avec ln x, on prend u = ln x ; avec eˣ ou sin x, on prend u = le polynôme.
- Produits trigonométriques : on les transforme en sommes, par exemple sin a cos b = (1/2)[sin(a + b) + sin(a − b)] et cos a cos b = (1/2)[cos(a + b) + cos(a − b)].
Les formules
- Primitives usuelles
- xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1) ; 1/x → ln|x| ; eˣ → eˣ ; sin x → −cos x ; cos x → sin x ; 1/cos²x → tg x
- Formes composées
- u′/u → ln|u| ; u′uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ; u′eᵘ → eᵘ ; u′/√u → 2√u
- Arc tangente
- 1/(x² + a²) → (1/a) Arctg(x/a)
- Arc sinus
- 1/√(a² − b²x²) → (1/b) arcsin(bx/a)
- a > 0, b > 0
- Intégration par parties
- ∫ₐᵇ u v′ dx = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′v dx
- Intégrale définie
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
La méthode
- 1Regarde si la fonction est une forme connue (usuelle, u′/u, u′uⁿ…) en ajustant au besoin une constante multiplicative.
- 2Fraction rationnelle : division euclidienne si nécessaire, puis décomposition (racines réelles) ou forme canonique et Arctg (pas de racine).
- 3Produit polynôme × (eˣ, ln x, sin x, cos x) : intégration par parties.
- 4Produit de sinus et cosinus : transforme en somme.
- 5Calcule F(b) − F(a) en faisant attention aux signes.
- 6Pour une question « laquelle est une primitive ? », dérive chaque proposition et compare avec f.
Un exemple résolu
Calcule I = ∫₁ᵉ x² ln x dx.
- 1.Produit polynôme × ln x : intégration par parties avec u = ln x et v′ = x².
- 2.Donc u′ = 1/x et v = x³/3.
- 3.I = [(x³/3) ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ (1/x)(x³/3) dx = [(x³/3) ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x²/3 dx.
- 4.Premier morceau : (e³/3) × ln e − (1/3) × ln 1 = e³/3 − 0 = e³/3.
- 5.Second morceau : ∫₁ᵉ x²/3 dx = [x³/9]₁ᵉ = (e³ − 1)/9.
- 6.I = e³/3 − (e³ − 1)/9 = (3e³ − e³ + 1)/9 = (2e³ + 1)/9.
Réponse : I = (2e³ + 1)/9, soit environ 4,57.
Les pièges à éviter
- Oublier le coefficient de compensation : une primitive de 1/√(16 − 9x²) est (1/3) arcsin(3x/4), et non arcsin(3x/4).
- Inverser les bornes : c'est F(borne du haut) − F(borne du bas).
- Croire que ∫ f × g = (∫ f) × (∫ g) : c'est faux en général.
- En intégration par parties, choisir u = x² et v′ = ln x : il faudrait une primitive de ln x, ce qui complique tout. Prends u = ln x, qui devient simple en dérivant (u′ = 1/x).
- Avec Chasles, mal soustraire : si ∫₀³ f = 5 et ∫₂³ f = 7, alors ∫₀² f = 5 − 7 = −2.
À retenir
Primitiver, c'est dériver à l'envers : reconnais u′/u, u′uⁿ, Arctg ou arcsin ; sinon décompose ou intègre par parties ; et vérifie toujours en dérivant.