Un lieu géométrique est le chemin suivi par un point qui bouge selon une règle : intersection de deux droites qui pivotent, point dont les coordonnées dépendent d'un paramètre t, point qui garde une distance donnée. Le travail consiste toujours à éliminer le paramètre pour obtenir une équation en x et y seulement.
L'essentiel
- Un paramètre (λ, t, θ…) est un nombre qui varie. Chaque valeur donne un point M ; l'ensemble de tous ces points est le lieu. On cherche l'équation que vérifient x et y, quelle que soit la valeur du paramètre.
- Intersection de deux droites variables : on tire λ de l'une des équations (par exemple λ = (y − 1)/x), puis on le remplace dans l'autre. On obtient souvent un cercle de la forme x² + y² + Dx + Ey = 0.
- Représentation paramétrique avec cos et sin : on isole cos t et sin t, puis on utilise cos²t + sin²t = 1. Exemple : x = 5 cos θ et y = 3 sin θ donnent x²/25 + y²/9 = 1, une ellipse.
- Avec eᵗ et e⁻ᵗ : on utilise eᵗ × e⁻ᵗ = 1. Par exemple, x + y et x − y isolent chacun une des exponentielles, et leur produit élimine t.
- Avec des puissances de sin et cos (comme x = 4 sin⁴θ, y = 4 cos⁴θ) : on prend des racines pour retrouver sin²θ et cos²θ, dont la somme vaut 1.
- Lieu défini par des distances (HA = 2 HB, distance à une droite égale au triple d'une autre distance) : on écrit les distances avec leurs formules, on élève au carré (ou on enlève les valeurs absolues avec ±), et on simplifie.
- Les égalités de distances entre points donnent en général un cercle ou une droite (la médiatrice si HA = HB) ; les égalités de distances à des droites donnent deux droites.
Les formules
- Identité trigonométrique
- cos²t + sin²t = 1
- Identité exponentielle
- eᵗ × e⁻ᵗ = 1
- Distance entre deux points
- HA² = (x − x_A)² + (y − y_A)²
- Distance d'un point à une droite
- |ax + by + c|/√(a² + b²)
La méthode
- 1Repère le paramètre et les relations qui le contiennent.
- 2Isole le paramètre (ou une fonction de lui, comme cos t ou eᵗ) dans l'une des relations.
- 3Remplace dans l'autre relation, ou utilise une identité (cos² + sin² = 1, eᵗe⁻ᵗ = 1) pour le faire disparaître.
- 4Simplifie jusqu'à une équation en x et y seulement, puis mets-la sous la forme des propositions.
- 5Vérifie avec une valeur simple du paramètre (λ = 0, t = 0) : le point obtenu doit vérifier ton équation.
Un exemple résolu
Pour λ réel, on considère les droites d₁ : λx + y − 2 = 0 et d₂ : x − λy = 0. Quel est le lieu de leur point d'intersection M ?
- 1.De d₂ : x = λy, donc λ = x/y (pour y ≠ 0).
- 2.On remplace dans d₁ : (x/y) × x + y − 2 = 0, soit x²/y + y − 2 = 0.
- 3.On multiplie par y : x² + y² − 2y = 0.
- 4.Forme centre-rayon : x² + (y − 1)² = 1. C'est le cercle de centre (0 ; 1) et de rayon 1.
- 5.Vérification avec λ = 0 : d₂ donne x = 0, d₁ donne y = 2. Le point (0 ; 2) vérifie bien 0 + 4 − 4 = 0.
- 6.Remarque : le point O(0 ; 0) du cercle n'est atteint pour aucune valeur de λ ; les items demandent l'équation du lieu, qui est celle du cercle.
Réponse : Le lieu de M est le cercle d'équation x² + y² − 2y = 0, de centre (0 ; 1) et de rayon 1.
Les pièges à éviter
- Garder le paramètre dans la réponse : l'équation finale ne doit contenir que x et y.
- Oublier de multiplier tous les termes quand on chasse un dénominateur (y ou x).
- Pour une condition du type « distance à une droite = 3 × distance à l'axe Ox », oublier le ± : on obtient deux droites, pas une seule.
- Avec x = a + r cos t et y = b + r sin t, se tromper de signe sur le centre : c'est le cercle de centre (a ; b), donc x = 1 + 2 cos t, y = −3 + 2 sin t a pour centre (1 ; −3).
À retenir
Pour un lieu, on élimine le paramètre : on l'isole dans une relation et on le remplace dans l'autre, ou on utilise cos² + sin² = 1 ou eᵗe⁻ᵗ = 1.