Un nombre complexe s'écrit z = a + ib, avec i² = −1 : c'est un point du plan, d'abscisse a et d'ordonnée b. C'est la notion la plus fréquente de l'Exetat en mathématiques : calculs, module, argument, puissances et équations.
L'essentiel
- Forme algébrique z = a + ib : a est la partie réelle Re(z), b la partie imaginaire Im(z). On calcule comme avec des polynômes, en remplaçant i² par −1.
- Conjugué : z̄ = a − ib (on change le signe de la partie imaginaire). On a z + z̄ = 2a, z − z̄ = 2ib et z × z̄ = a² + b², un nombre réel positif. C'est ce qui permet de diviser : on multiplie le haut et le bas par le conjugué du dénominateur.
- Module |z| = √(a² + b²) : c'est la distance du point à l'origine. Argument θ : l'angle entre l'axe des abscisses et le point, avec cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|. Regarde le signe de a et de b pour placer l'angle dans le bon quart du plan.
- Forme trigonométrique ou exponentielle : z = r(cos θ + i sin θ) = r e^(iθ). Elle rend les produits faciles : on multiplie les modules et on ajoute les arguments ; pour un quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments.
- Formule de Moivre : (r e^(iθ))ⁿ = rⁿ e^(inθ). Pour calculer (1 + i)⁸ ou (1 − i√3)³, passe toujours par la forme trigonométrique.
- Équation du second degré az² + bz + c = 0 : on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ < 0 (coefficients réels), les racines sont (−b ± i√(−Δ))/(2a), conjuguées. Somme des racines −b/a, produit c/a, même avec des coefficients complexes.
- Racines n-ièmes : les solutions de zⁿ = r e^(iθ) ont pour module r^(1/n) et pour arguments (θ + 2kπ)/n, avec k = 0, 1, …, n − 1. Leurs images forment un polygone régulier centré en O. Les racines cubiques de 1 sont 1, j et j², avec j = e^(2iπ/3), j³ = 1 et 1 + j + j² = 0.
- Multiplier par i fait tourner le point de +π/2 autour de O ; multiplier par −i le fait tourner de −π/2.
Les formules
- Module
- |a + ib| = √(a² + b²)
- |z₁z₂| = |z₁| × |z₂| et |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|
- Inverse
- 1/(a + ib) = (a − ib)/(a² + b²)
- on multiplie par le conjugué
- Forme exponentielle
- z = r e^(iθ) = r(cos θ + i sin θ)
- r = |z|, θ = arg z
- Moivre
- (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
- n entier
- Racines d'une équation à coefficients réels, Δ < 0
- z = (−b ± i√(−Δ))/(2a)
- Δ = b² − 4ac
- Somme et produit des racines
- z₁ + z₂ = −b/a ; z₁ × z₂ = c/a
- pour az² + bz + c = 0
- Racines n-ièmes
- zₖ = r^(1/n) e^(i(θ + 2kπ)/n)
- k = 0, 1, …, n − 1
La méthode
- 1Repère la forme demandée dans les propositions : algébrique (a + ib), trigonométrique [module ; argument] ou exponentielle.
- 2Pour une division, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis sépare partie réelle et partie imaginaire.
- 3Pour une puissance ou une racine, calcule le module et l'argument, applique Moivre, puis reviens si besoin à la forme algébrique avec les valeurs de cos et sin.
- 4Pour une équation contenant z et z̄, pose z = x + iy, développe, puis égale séparément les parties réelles et imaginaires : tu obtiens un système en x et y.
- 5Pour une équation comme z² − |3 + 4i|·z + |√11 + 5i| = 0, calcule d'abord les modules (ici 5 et 6) : l'équation devient z² − 5z + 6 = 0, de racines 2 et 3.
- 6Vérifie toujours avec une propriété simple : somme et produit des racines, ou module du résultat.
Un exemple résolu
Calcule (1 + i√3)⁴ et donne le résultat sous forme algébrique.
- 1.Module : |1 + i√3| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
- 2.Argument : cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3.
- 3.Donc 1 + i√3 = 2 e^(iπ/3).
- 4.Moivre : (2 e^(iπ/3))⁴ = 2⁴ e^(i4π/3) = 16 e^(i4π/3).
- 5.cos(4π/3) = −1/2 et sin(4π/3) = −√3/2.
- 6.16 × (−1/2 − i√3/2) = −8 − 8i√3.
- 7.Contrôle du module : |−8 − 8i√3| = √(64 + 192) = √256 = 16 = 2⁴.
Réponse : (1 + i√3)⁴ = −8 − 8i√3.
Les pièges à éviter
- Se tromper de quart du plan pour l'argument : −2 − 2i a pour argument −3π/4 (ou 5π/4), pas π/4. Place toujours le point (a ; b) avant de choisir l'angle.
- Confondre z × z̄ = a² + b² avec a² − b² : par exemple (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 + 16 = 25, car −(4i)² = +16.
- Développer (1 + i)⁸ à la main et faire une erreur de signe : (1 + i) = √2 e^(iπ/4), donc (1 + i)⁸ = 16 e^(i2π) = 16.
- Confondre z̄ = −z (z imaginaire pur) et z̄ = z (z réel).
- Pour les racines n-ièmes, oublier le + 2kπ : on n'obtient alors qu'une seule racine au lieu de n.
À retenir
Pour additionner, la forme algébrique ; pour multiplier, diviser, élever à une puissance ou extraire une racine, la forme trigonométrique : modules multipliés, arguments ajoutés.