La concavité dit dans quel sens la courbe se courbe : vers le haut comme un bol, ou vers le bas comme un parapluie. Le point d'inflexion est l'endroit où elle change de courbure. Tout se lit sur le signe de la dérivée seconde f″.
L'essentiel
- Si f″(x) > 0 sur un intervalle, la courbe est convexe : sa concavité est tournée vers le haut (vers les y positifs), comme un bol qui retient l'eau.
- Si f″(x) < 0, la courbe est concave : sa concavité est tournée vers le bas (vers les y négatifs), comme un parapluie ouvert.
- Un point d'inflexion est un point de la courbe où la concavité change. On le trouve là où f″ s'annule EN CHANGEANT de signe. En ce point, la courbe traverse sa tangente.
- Pour un polynôme du troisième degré f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f″(x) = 6ax + 2b s'annule en x = −b/(3a) et change toujours de signe : c'est le point d'inflexion, qui est aussi le centre de symétrie de la courbe.
- Les coordonnées du point d'inflexion sont (a ; f(a)) : on calcule l'ordonnée avec f, pas avec f′ ni f″.
- Pour une fraction dont f″ a un dénominateur de puissance impaire, comme 2/(x − 1)³, le signe de f″ change de part et d'autre de la valeur interdite : la concavité change, mais il n'y a pas de point d'inflexion en une valeur où f n'existe pas.
Les formules
- Convexité
- f″ > 0 : concavité vers le haut ; f″ < 0 : concavité vers le bas
- Point d'inflexion
- f″(a) = 0 et f″ change de signe en a
- coordonnées (a ; f(a))
- Inflexion d'une cubique
- x = −b/(3a) pour f(x) = ax³ + bx² + cx + d
La méthode
- 1Calcule f′(x), puis f″(x) (si l'énoncé donne f″, utilise-la directement).
- 2Résous f″(x) = 0.
- 3Étudie le signe de f″ de part et d'autre de chaque solution, et autour des valeurs interdites.
- 4Conclus : intervalles où la courbe est tournée vers le haut (f″ > 0) ou vers le bas (f″ < 0).
- 5Pour chaque changement de signe en un point du domaine, calcule f(a) : le point d'inflexion est (a ; f(a)).
Un exemple résolu
Détermine le point d'inflexion de la courbe de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 et précise sa concavité.
- 1.f′(x) = 3x² − 12x + 9.
- 2.f″(x) = 6x − 12.
- 3.f″(x) = 0 donne x = 2. Contrôle avec la formule : −b/(3a) = 6/3 = 2.
- 4.Pour x < 2, f″(x) < 0 : concavité vers le bas. Pour x > 2, f″(x) > 0 : concavité vers le haut. Le signe change bien.
- 5.Ordonnée : f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3.
Réponse : Le point d'inflexion est (2 ; 3) ; la courbe est tournée vers le bas sur ]−∞ ; 2[ et vers le haut sur ]2 ; +∞[.
Les pièges à éviter
- Calculer l'ordonnée avec f′ ou f″ au lieu de f : pour x³ − 3x² + 1, l'inflexion est en x = 1 et f(1) = −1, donc (1 ; −1).
- Confondre f′ = 0 (extremum possible) et f″ = 0 (inflexion possible).
- Oublier de vérifier le changement de signe : f(x) = x⁴ a f″(0) = 0 mais f″ reste positive, il n'y a pas d'inflexion en 0.
- Se tromper de vocabulaire : « tournée vers les y positifs » ou « convexe » signifie f″ > 0.
À retenir
f″ > 0 : courbe en bol (vers le haut) ; f″ < 0 : courbe en parapluie (vers le bas) ; inflexion là où f″ s'annule en changeant de signe, ordonnée calculée avec f.