Composer deux fonctions, c'est les appliquer l'une après l'autre, comme deux machines à la chaîne. La réciproque, c'est la machine qui fait le chemin inverse. L'Exetat demande des valeurs de composées, des réciproques de fractions et la dérivée d'une réciproque.
L'essentiel
- (f∘g)(x) se lit « f rond g de x » et vaut f(g(x)) : on calcule d'abord g(x), puis on applique f au résultat. La fonction écrite à droite agit en premier.
- En général f∘g et g∘f sont différentes. Exemple : f(x) = x + 3 et g(x) = x² − 4x donnent (g∘f)(−1) = g(2) = 4 − 8 = −4, alors que (f∘g)(−1) = f(5) = 8.
- Pour trouver une fonction inconnue p(x) = ax + b telle que f∘p = g (ou p∘g = f), on écrit la composée en fonction de a et b, puis on identifie les coefficients de x et les termes constants.
- Une fonction est bijective d'un ensemble A vers un ensemble B si chaque y de B a exactement un antécédent x dans A. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection de cet intervalle sur l'intervalle de ses valeurs. Pour trouver cet intervalle, calcule f aux bornes (ou sa limite) : f(x) = (3x + 1)/(x + 2) est croissante sur [0 ; +∞[, part de f(0) = 1/2 et tend vers 3, donc l'intervalle d'arrivée est [1/2 ; 3[.
- La réciproque f⁻¹ défait ce que fait f : si f(a) = b, alors f⁻¹(b) = a. Pour calculer f⁻¹(k), il suffit donc de résoudre f(x) = k, sans chercher la formule de f⁻¹.
- Pour une fonction homographique f(x) = (ax + b)/(cx + d), la réciproque est f⁻¹(x) = (dx − b)/(−cx + a). Elle est définie partout sauf en x = a/c, la valeur que f n'atteint jamais.
- Dérivée de la réciproque : si f(x₀) = y₀ et f′(x₀) ≠ 0, alors (f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀). Attention, on dérive f au point x₀, pas au point y₀.
Les formules
- Composée
- (f∘g)(x) = f(g(x))
- g agit d'abord, f ensuite
- Réciproque d'une homographique
- f(x) = (ax + b)/(cx + d) ⟹ f⁻¹(x) = (dx − b)/(−cx + a)
- Df⁻¹ = ℝ ∖ {a/c}
- Dérivée de la réciproque
- (f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀) avec y₀ = f(x₀)
- Propriété fondamentale
- f(f⁻¹(y)) = y et f⁻¹(f(x)) = x
La méthode
- 1Pour une composée, écris f(g(x)) et calcule de l'intérieur vers l'extérieur : d'abord g(x), ensuite f de ce résultat.
- 2Pour une fonction inconnue, pose p(x) = ax + b, développe la composée, puis égale les coefficients de x et les constantes : tu obtiens a et b.
- 3Pour la formule de f⁻¹, écris y = f(x), isole x en fonction de y, puis remplace y par x.
- 4Pour une valeur f⁻¹(k), résous simplement l'équation f(x) = k.
- 5Pour (f⁻¹)′(y₀), cherche d'abord x₀ tel que f(x₀) = y₀, calcule f′(x₀), puis prends l'inverse.
- 6Vérifie : f(f⁻¹(k)) doit redonner k.
Un exemple résolu
Soit f(x) = (2x − 1)/(x + 1), définie pour x ≠ −1. Détermine f⁻¹ et son domaine, puis calcule (f⁻¹)′(1).
- 1.On pose y = (2x − 1)/(x + 1), donc y(x + 1) = 2x − 1, soit yx + y = 2x − 1.
- 2.On regroupe les x : yx − 2x = −1 − y, donc x(y − 2) = −(1 + y), et x = (y + 1)/(2 − y).
- 3.On remplace y par x : f⁻¹(x) = (x + 1)/(2 − x). C'est bien la formule (dx − b)/(−cx + a) avec a = 2, b = −1, c = 1, d = 1.
- 4.Domaine de f⁻¹ : 2 − x ≠ 0, donc ℝ ∖ {2}.
- 5.Pour (f⁻¹)′(1), on cherche x₀ avec f(x₀) = 1 : 2x₀ − 1 = x₀ + 1, donc x₀ = 2.
- 6.f′(x) = [2(x + 1) − (2x − 1)]/(x + 1)² = 3/(x + 1)², donc f′(2) = 3/9 = 1/3.
- 7.(f⁻¹)′(1) = 1/f′(2) = 3.
- 8.Contrôle direct : (f⁻¹)′(x) = 3/(2 − x)², qui vaut 3/1 = 3 en x = 1.
Réponse : f⁻¹(x) = (x + 1)/(2 − x) sur ℝ ∖ {2}, et (f⁻¹)′(1) = 3.
Les pièges à éviter
- Calculer dans le mauvais ordre : (f∘g)(x) commence par g, la fonction de droite.
- Confondre f⁻¹(x) et 1/f(x) : la réciproque n'est pas l'inverse. Pour f(x) = (2x + 1)/(x − 3), f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), et non (x − 3)/(2x + 1).
- Donner comme domaine de f⁻¹ celui de f : pour f(x) = (3x + 2)/(2x − 5), le domaine de f⁻¹ est ℝ ∖ {3/2}, pas ℝ ∖ {5/2}.
- Pour (f⁻¹)′(y₀), calculer 1/f′(y₀) au lieu de 1/f′(x₀) : il faut d'abord trouver l'antécédent x₀.
À retenir
f∘g : g d'abord ; f⁻¹(k) : résoudre f(x) = k ; (f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀) où f(x₀) = y₀.