La dérivée f′(x) mesure la vitesse à laquelle f(x) change, comme le compteur de vitesse d'un taxi-bus mesure à quelle allure la distance parcourue augmente. À l'Exetat, il faut surtout appliquer sans erreur les règles de dérivation et calculer des nombres dérivés comme f′(2) ou f″(0).
L'essentiel
- Le nombre dérivé f′(a) est la limite de [f(x) − f(a)]/(x − a) quand x tend vers a. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- On dérive avec quelques règles : somme (u + v)′ = u′ + v′, produit (uv)′ = u′v + uv′, quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², et la règle de la chaîne pour une fonction « dans » une autre.
- Règle de la chaîne : on dérive la fonction extérieure, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Exemples : (√u)′ = u′/(2√u), (ln u)′ = u′/u, (eᵘ)′ = u′eᵘ, (sin u)′ = u′ cos u, (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹.
- Pour ln d'un quotient ou d'un produit, utilise d'abord ln(A/B) = ln A − ln B : on dérive deux termes simples, puis on réduit au même dénominateur.
- Pour une puissance où x est à l'exposant, comme x^(sin x) ou (ln x)ˣ, on écrit y = e^(v ln u) : alors y′ = y × (v ln u)′. C'est la dérivée logarithmique.
- Dérivées successives : f″ est la dérivée de f′, f‴ celle de f″. Pour une fraction « degré 2 sur degré 1 », écris d'abord f(x) = ax + b + c/(x − d) : les dérivées deviennent très simples.
- Courbe donnée par une équation en x et y (comme x² + xy + y² = 7) : on dérive chaque terme par rapport à x en considérant y comme une fonction de x (la dérivée de y² est 2y y′), puis on isole y′.
Les formules
- Dérivées usuelles
- (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ ; (√x)′ = 1/(2√x) ; (1/x)′ = −1/x²
- Exponentielle et logarithme
- (eˣ)′ = eˣ ; (ln x)′ = 1/x ; (aˣ)′ = aˣ ln a
- Trigonométrie
- (sin x)′ = cos x ; (cos x)′ = −sin x ; (tg x)′ = 1 + tg²x = 1/cos²x ; (Arctg x)′ = 1/(1 + x²)
- Produit et quotient
- (uv)′ = u′v + uv′ ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Composée
- (f(u))′ = u′ × f′(u)
- (√u)′ = u′/(2√u), (ln u)′ = u′/u, (eᵘ)′ = u′eᵘ
- Homographique
- ((ax + b)/(cx + d))′ = (ad − bc)/(cx + d)²
- Dérivée logarithmique
- y = uᵛ ⟹ y′ = uᵛ (v′ ln u + v u′/u)
La méthode
- 1Identifie la forme principale de f : somme, produit, quotient, composée (racine, ln, exp, puissance).
- 2Si c'est possible, simplifie avant de dériver : division euclidienne, ln(A/B) = ln A − ln B, développement d'un produit.
- 3Écris u, v et leurs dérivées à part, puis applique la formule.
- 4Si on demande seulement un nombre dérivé f′(a), remplace x par a dès que la formule est écrite, sans forcément simplifier f′(x).
- 5Pour f″, dérive f′ (ou la forme simplifiée) une seconde fois.
- 6Contrôle le signe et l'ordre des termes dans le quotient : u′v − uv′, jamais l'inverse.
Un exemple résolu
Soit g(x) = (x² + 1)/(x − 2). Calcule g′(3) et g″(3).
- 1.Division euclidienne : x² + 1 = (x − 2)(x + 2) + 5. Vérification : (x − 2)(x + 2) = x² − 4, et −4 + 5 = 1.
- 2.Donc g(x) = x + 2 + 5/(x − 2).
- 3.Dérivée de 5/(x − 2) : 5 × (−1)/(x − 2)² = −5/(x − 2)². Donc g′(x) = 1 − 5/(x − 2)².
- 4.g′(3) = 1 − 5/1² = −4.
- 5.Dérivée de −5/(x − 2)² = −5(x − 2)⁻² : −5 × (−2)(x − 2)⁻³ = 10/(x − 2)³. Donc g″(x) = 10/(x − 2)³.
- 6.g″(3) = 10/1³ = 10.
- 7.Contrôle par la règle du quotient : g′(x) = [2x(x − 2) − (x² + 1)]/(x − 2)² = (x² − 4x − 1)/(x − 2)², et en x = 3 : (9 − 12 − 1)/1 = −4.
Réponse : g′(3) = −4 et g″(3) = 10.
Les pièges à éviter
- Oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur : (√(2x + 5))′ = 2/(2√(2x + 5)) = 1/√(2x + 5), donc f′(2) = 1/3, et non 1/6.
- Inverser l'ordre dans le quotient (uv′ − u′v) : on obtient l'opposé du bon résultat, qui figure souvent parmi les propositions fausses.
- Dériver x^(sin x) comme une puissance ordinaire (sin x · x^(sin x − 1)) : l'exposant dépend de x, il faut la dérivée logarithmique.
- Pour une courbe implicite, oublier le y′ quand on dérive xy ou y² : (xy)′ = y + x y′ et (y²)′ = 2y y′.
- Confondre f′(0) et f(0) dans une expression comme f(1) + 2f′(1) − f″(0) : calcule chaque morceau séparément.
À retenir
(uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², et pour une composée on multiplie toujours par la dérivée de l'intérieur.