En géométrie analytique, une droite est décrite par une équation que vérifient les coordonnées de tous ses points. Avec la pente, les distances et quelques formules, on répond à tous les items : droite parallèle ou perpendiculaire, point équidistant, abscisse à l'origine, changement de repère.
L'essentiel
- Équation réduite y = mx + p : m est la pente (coefficient directeur), p l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe Oy). Équation cartésienne ax + by + c = 0 : sa pente vaut −a/b (si b ≠ 0). Une droite verticale s'écrit x = k.
- Droite passant par A(x₀ ; y₀) de pente m : y − y₀ = m(x − x₀). Pente de la droite (AB) : m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A).
- Parallèles : même pente (ou mêmes coefficients a et b, seul c change). Perpendiculaires : produit des pentes égal à −1. Ainsi la perpendiculaire à ax + by + c = 0 s'écrit bx − ay + c′ = 0.
- Abscisse à l'origine p (point (p ; 0)) et ordonnée à l'origine q (point (0 ; q)) : la droite a pour équation x/p + y/q = 1 (forme segmentaire).
- Distance entre deux points : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Distance d'un point M(x₀ ; y₀) à la droite ax + by + c = 0 : |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
- Point équidistant de A et B : il est sur la médiatrice de [AB]. On écrit MA² = MB², ce qui donne une équation du premier degré.
- Changement de repère par translation, nouvelle origine O′(a ; b) : x = X + a et y = Y + b. Rotation de centre O et d'angle θ, dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre) : M(x ; y) devient M′(x cos θ − y sin θ ; x sin θ + y cos θ). Exemple : avec θ = 45°, M(0 ; 2) devient M′(−√2 ; √2).
Les formules
- Droite par un point et une pente
- y − y₀ = m(x − x₀)
- Pente
- m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) ; pour ax + by + c = 0 : m = −a/b
- Parallèles et perpendiculaires
- m = m′ ; m × m′ = −1
- Forme segmentaire
- x/p + y/q = 1
- p abscisse à l'origine, q ordonnée à l'origine
- Distance entre deux points
- AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)
- Distance d'un point à une droite
- d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)
- Translation des axes
- x = X + a ; y = Y + b
- nouvelle origine O′(a ; b)
- Rotation de centre O et d'angle θ
- x′ = x cos θ − y sin θ ; y′ = x sin θ + y cos θ
- sens trigonométrique
La méthode
- 1Traduis chaque information en équation : un point de passage, une pente, une condition de parallélisme ou de perpendicularité, une distance.
- 2Pour une intersection de deux droites, résous le système de leurs équations.
- 3Pour une droite parallèle (ou perpendiculaire) à une autre, garde (ou échange avec un signe) les coefficients a et b, puis trouve c avec le point de passage.
- 4Pour un point situé sur une droite donnée, écris ses coordonnées avec une seule inconnue (par exemple (a ; 2a) sur y = 2x).
- 5Vérifie la réponse en remplaçant les coordonnées du point donné dans l'équation trouvée.
Un exemple résolu
Une droite d passe par A(2 ; 1) et son abscisse à l'origine est le double de son ordonnée à l'origine (non nulle). Donne son équation, puis sa distance à l'origine O.
- 1.On note q l'ordonnée à l'origine ; l'abscisse à l'origine vaut alors 2q.
- 2.Forme segmentaire : x/(2q) + y/q = 1. On multiplie par 2q : x + 2y = 2q.
- 3.A(2 ; 1) est sur d : 2 + 2 × 1 = 2q, donc q = 2.
- 4.Équation : x + 2y = 4, soit x + 2y − 4 = 0. Contrôle : elle coupe Oy en (0 ; 2) et Ox en (4 ; 0), et 4 = 2 × 2.
- 5.Distance de O(0 ; 0) à d : |0 + 0 − 4|/√(1² + 2²) = 4/√5.
- 6.On rend le dénominateur rationnel : 4/√5 = 4√5/5.
Réponse : d : x + 2y − 4 = 0, et sa distance à l'origine vaut 4√5/5 (environ 1,79).
Les pièges à éviter
- Confondre parallèle et perpendiculaire : la perpendiculaire à x − 3y + 5 = 0 (pente 1/3) a pour pente −3, donc s'écrit 3x + y + c = 0.
- Oublier la valeur absolue ou la racine dans la distance point-droite.
- Pour une distance AB donnée, oublier la deuxième solution : (x − 2)² = 36 donne x = 8 ou x = −4.
- Se tromper de sens dans la translation : si O′(a ; b) est la nouvelle origine, on remplace x par X + a, et non par X − a.
- Une droite parallèle à x + 3 = 0 est verticale : elle s'écrit x = k, pas y = k.
À retenir
Pente m = −a/b ; parallèles : même pente ; perpendiculaires : produit des pentes −1 ; distance d'un point à une droite : |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).