Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance r (le rayon) d'un point fixe (le centre). Son équation se déduit directement de la formule de la distance. À l'Exetat : cercle de diamètre donné, centre et rayon, tangence, intersections de cercles.
L'essentiel
- Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r². En développant, on obtient la forme x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
- Lire le centre et le rayon de x² + y² + Dx + Ey + F = 0 : le centre est (−D/2 ; −E/2) et r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Si ce nombre est négatif, il n'y a pas de cercle.
- Cercle de diamètre [AB] : (x − x_A)(x − x_B) + (y − y_A)(y − y_B) = 0. Cela vient de ce qu'un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Son centre est le milieu de [AB].
- Un cercle est tangent à une droite quand la distance du centre à la droite est égale au rayon. Au point de contact, le rayon est perpendiculaire à la droite.
- Puissance d'un point M(x₀ ; y₀) : on remplace x et y par x₀ et y₀ dans x² + y² + Dx + Ey + F. Négative : M est à l'intérieur ; nulle : sur le cercle ; positive : à l'extérieur.
- Deux cercles sécants : en soustrayant leurs équations, les x² et y² disparaissent ; on obtient la droite qui porte leur corde commune. Tout cercle passant par leurs points communs s'écrit C₁ + λC₂ = 0 (avec λ ≠ −1).
- Représentation paramétrique : x = a + r cos t, y = b + r sin t décrit le cercle de centre (a ; b) et de rayon r.
Les formules
- Équation centre-rayon
- (x − a)² + (y − b)² = r²
- Forme développée
- x² + y² + Dx + Ey + F = 0 : centre (−D/2 ; −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F
- Cercle de diamètre [AB]
- (x − x_A)(x − x_B) + (y − y_A)(y − y_B) = 0
- Tangence à une droite
- |aα + bβ + c|/√(a² + b²) = r
- centre (α ; β), droite ax + by + c = 0
- Faisceau de cercles
- C₁ + λC₂ = 0
- cercles passant par les points communs de C₁ et C₂
La méthode
- 1Repère ce que l'énoncé donne : centre et rayon, centre et un point, diamètre, trois points, tangence.
- 2Centre et point : le rayon est la distance du centre au point. Diamètre : utilise la formule du diamètre. Trois points : remplace chacun dans x² + y² + Dx + Ey + F = 0 et résous le système.
- 3Tangence : rayon = distance du centre à la droite ; si le point de contact est donné, le centre est sur la perpendiculaire en ce point.
- 4Développe pour comparer avec les propositions, qui sont souvent sous la forme x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
- 5Vérifie en remplaçant un point connu du cercle dans ton équation.
Un exemple résolu
Donne l'équation du cercle de diamètre [AB], avec A(3 ; −2) et B(−1 ; 4), puis son centre et son rayon.
- 1.Formule du diamètre : (x − 3)(x + 1) + (y + 2)(y − 4) = 0.
- 2.(x − 3)(x + 1) = x² − 2x − 3.
- 3.(y + 2)(y − 4) = y² − 2y − 8.
- 4.Somme : x² + y² − 2x − 2y − 11 = 0.
- 5.Centre : (−(−2)/2 ; −(−2)/2) = (1 ; 1), qui est bien le milieu de [AB] : ((3 − 1)/2 ; (−2 + 4)/2).
- 6.r² = 1 + 1 + 11 = 13, donc r = √13. Contrôle : AB² = 4² + 6² = 52 et (AB/2)² = 52/4 = 13.
Réponse : x² + y² − 2x − 2y − 11 = 0 ; centre (1 ; 1) et rayon √13.
Les pièges à éviter
- Se tromper de signe pour le centre : dans x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0, le centre est (−2 ; 3), pas (2 ; −3).
- Oublier de soustraire F pour le rayon : r² = D²/4 + E²/4 − F.
- Pour un cercle de diamètre [AB], prendre AB comme rayon : le rayon vaut AB/2.
- Écrire x² − y² au lieu de x² + y² : une équation de cercle a toujours x² et y² avec le même coefficient.
À retenir
Centre (−D/2 ; −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F ; cercle de diamètre [AB] : (x − x_A)(x − x_B) + (y − y_A)(y − y_B) = 0 ; tangence : distance du centre à la droite = rayon.