Une fonction périodique répète le même motif à intervalles réguliers, comme les saisons qui reviennent chaque année. L'Exetat demande surtout la période d'une somme de sinus, cosinus et tangentes, et parfois si une fonction est paire ou impaire.
L'essentiel
- Une fonction f est périodique de période T (T > 0) si f(x + T) = f(x) pour tout x : le graphe se répète tous les T. On cherche en général la plus petite période positive.
- sin(ax + b) et cos(ax + b) ont pour période 2π/|a|. Le décalage b ne change rien, ni un coefficient devant : 5 cos(πx/3 + 1) a pour période 2π/(π/3) = 6.
- tg(ax + b) et cotg(ax + b) ont pour période π/|a|, deux fois plus courte que sinus et cosinus.
- sin²x et cos²x ont pour période π, car cos²x = (1 + cos 2x)/2. Une fraction qui ne contient que cos 3x (par exemple (cos 3x + 2)/(cos 3x − 3)) a la même période que cos 3x, soit 2π/3.
- Pour une somme de fonctions périodiques, la période est le plus petit commun multiple (PPCM) des périodes : la plus petite durée qui contient un nombre entier de motifs de chacune.
- Une fonction est paire si f(−x) = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (comme x² ou cos x). Elle est impaire si f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine (comme x³ ou sin x). Le domaine doit être symétrique par rapport à 0.
- Un polynôme est pair si tous les termes de degré impair ont un coefficient nul, impair si tous les termes de degré pair (y compris la constante) sont nuls.
Les formules
- Sinus et cosinus
- T = 2π/|a| pour sin(ax + b) et cos(ax + b)
- Tangente et cotangente
- T = π/|a| pour tg(ax + b) et cotg(ax + b)
- Carrés
- sin²x et cos²x ont pour période π
- Somme de deux fonctions périodiques
- T = PPCM(T₁ ; T₂)
- pour des fractions : PPCM des numérateurs / PGCD des dénominateurs
- Parité
- paire : f(−x) = f(x) ; impaire : f(−x) = −f(x)
La méthode
- 1Sépare la fonction en morceaux simples : chaque sinus, cosinus, tangente ou cotangente.
- 2Calcule la période de chaque morceau : 2π/|a| pour sin et cos, π/|a| pour tg et cotg.
- 3Écris chaque période sous la forme (p/q)π, avec p/q une fraction irréductible (simplifiée au maximum).
- 4Prends le PPCM : PPCM des numérateurs divisé par PGCD des dénominateurs, puis remets π.
- 5Vérifie que le résultat divisé par chaque période donne un nombre entier.
- 6Pour la parité, remplace x par −x dans la formule et compare avec f(x) et −f(x).
Un exemple résolu
Détermine la période de f(x) = cos(3x/2) + sin(x/3).
- 1.Période de cos(3x/2) : T₁ = 2π/(3/2) = 2π × 2/3 = 4π/3.
- 2.Période de sin(x/3) : T₂ = 2π/(1/3) = 6π, que l'on écrit 6π/1.
- 3.PPCM des numérateurs 4 et 6 : 12. PGCD des dénominateurs 3 et 1 : 1.
- 4.Donc T = 12π/1 = 12π.
- 5.Vérification : 12π ÷ (4π/3) = 12 × 3/4 = 9 motifs entiers, et 12π ÷ 6π = 2 motifs entiers.
Réponse : La période de f est 12π.
Les pièges à éviter
- Utiliser 2π pour une tangente : tg(x/2) a pour période π/(1/2) = 2π, pas 4π.
- Additionner ou multiplier les périodes au lieu de prendre le PPCM : pour sin 4x + cos 6x, les périodes π/2 et π/3 ont pour PPCM π, et non 5π/6 ou π²/6.
- Croire que le décalage change la période : sin(2x/3 − π/4) a la même période que sin(2x/3), soit 3π.
- Oublier que sin²x a pour période π et non 2π.
- Quand la variable est multipliée par π, la période n'a plus de π : sin(πx/2) a pour période 4, cos(πx) a pour période 2, et leur somme a pour période 4.
À retenir
2π/|a| pour sinus et cosinus, π/|a| pour tangente et cotangente, et le PPCM pour une somme.