Calculer une limite, c'est dire vers quelle valeur f(x) se rapproche quand x se rapproche d'un nombre ou de l'infini. Le plus souvent on remplace directement ; quand on tombe sur 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ ou 1^∞, il faut une astuce. C'est l'une des notions les plus fréquentes de l'Exetat.
L'essentiel
- Toujours commencer par remplacer x par la valeur. Si on obtient un nombre, c'est la limite. Si on obtient une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞, 1^∞), il faut transformer l'expression.
- 0/0 avec des polynômes : le numérateur et le dénominateur s'annulent en a, donc tous deux contiennent le facteur (x − a). On factorise, on simplifie, puis on remplace.
- 0/0 avec une racine carrée : on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée (√A − B devient √A + B), car (√A − B)(√A + B) = A − B², ce qui fait disparaître la racine.
- À l'infini, pour une fraction de polynômes, seuls les termes de plus haut degré comptent : même degré, la limite est le quotient des coefficients dominants ; degré du haut plus petit, la limite est 0 ; degré du haut plus grand, la limite est infinie.
- ∞ − ∞ avec racines, comme √(x² + 3x) − x : on multiplie par le conjugué. Le résultat vaut 3x/(√(x² + 3x) + x), qui tend vers 3/2. Attention : en −∞, √(x²) = |x| = −x.
- Limites usuelles en 0 : sin x/x → 1, tg x/x → 1, (1 − cos x)/x² → 1/2, ln(1 + x)/x → 1, (eˣ − 1)/x → 1, (aˣ − 1)/x → ln a. Elles restent vraies si on remplace x par ax partout : sin 3x/(3x) → 1, donc sin 3x/x = 3 × sin 3x/(3x) → 3.
- Forme 1^∞ : si u → 1 et v → ∞, alors lim uᵛ = e^(lim v(u − 1)). Exemple : (1 + a/x)ˣ → eᵃ quand x → +∞, et (1 + ax)^(1/x) → eᵃ quand x → 0.
- Forme (g(x) − g(a))/(x − a) : c'est le nombre dérivé g′(a), qu'il suffit de calculer. Règle de L'Hospital, utile pour vérifier : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′ (quand cette dernière existe). On peut la répéter si on retombe sur 0/0.
Les formules
- Conjugué
- (√A − B)(√A + B) = A − B²
- Différence de cubes
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- pour les racines cubiques ∛x − 2
- Limites trigonométriques
- lim sin x/x = 1 ; lim tg x/x = 1 ; lim (1 − cos x)/x² = 1/2
- x → 0
- Limites exponentielles et logarithmiques
- lim (eˣ − 1)/x = 1 ; lim (aˣ − 1)/x = ln a ; lim ln(1 + x)/x = 1
- x → 0
- Forme 1^∞
- lim uᵛ = e^(lim v(u − 1))
- quand u → 1 et v → ∞
- Croissances comparées
- lim xⁿ ln x = 0 (x → 0⁺) ; lim eˣ/xⁿ = +∞ (x → +∞)
- Règle de L'Hospital
- lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x)
- si forme 0/0 ou ∞/∞
La méthode
- 1Remplace x par la valeur et note la forme obtenue.
- 2Polynômes et 0/0 : factorise par (x − a) en haut et en bas, simplifie, remplace.
- 3Racine et 0/0 ou ∞ − ∞ : multiplie par le conjugué, simplifie, remplace.
- 4À l'infini : garde les termes de plus haut degré (ou mets x² en facteur sous la racine), puis simplifie.
- 5Trigonométrie, exponentielle ou logarithme près de 0 : fais apparaître une limite usuelle, par exemple sin 2x/tg 5x = (sin 2x/2x) × (5x/tg 5x) × 2/5 → 2/5.
- 6Puissance avec 1^∞ : calcule lim v(u − 1), puis prends l'exponentielle.
- 7Si x tend vers un nombre a ≠ 0 avec sin, cos ou tg, pose h = x − a (ou h = a − x), qui tend vers 0 : (π/2 − x) tg x devient h × cos h/sin h → 1.
- 8En cas de doute, contrôle avec la règle de L'Hospital ou en remplaçant x par une valeur très proche.
Un exemple résolu
Calcule la limite de f(x) = (√(x + 6) − 3)/(x² − 9) quand x tend vers 3.
- 1.On remplace : √9 − 3 = 0 en haut et 9 − 9 = 0 en bas. C'est la forme 0/0.
- 2.Il y a une racine : on multiplie en haut et en bas par le conjugué √(x + 6) + 3.
- 3.Numérateur : (√(x + 6) − 3)(√(x + 6) + 3) = (x + 6) − 9 = x − 3.
- 4.Dénominateur : x² − 9 = (x − 3)(x + 3), donc f(x) = (x − 3)/[(x − 3)(x + 3)(√(x + 6) + 3)].
- 5.On simplifie par (x − 3), permis car x ≠ 3 : f(x) = 1/[(x + 3)(√(x + 6) + 3)].
- 6.On remplace x = 3 : (3 + 3)(√9 + 3) = 6 × 6 = 36.
- 7.Contrôle par L'Hospital : dérivée du haut 1/(2√(x + 6)) = 1/6 en 3, dérivée du bas 2x = 6 en 3, et (1/6)/6 = 1/36.
Réponse : La limite vaut 1/36.
Les pièges à éviter
- Répondre « 1 » pour une forme 1^∞ : ((2x + 3)/(2x − 1))ˣ tend vers e², car x(u − 1) = 4x/(2x − 1) → 2.
- Oublier le carré dans (1 − cos ax)/x² : la limite vaut a²/2, donc 8 pour a = 4, et non 2.
- En −∞, écrire √(x²) = x : c'est |x| = −x. Ainsi √(x² + 6x) − √(x² − 2x) tend vers −4 en −∞, et vers +4 en +∞.
- Pour (aˣ − bˣ)/x, la limite est ln a − ln b = ln(a/b) : (9ˣ − 3ˣ)/(2x) → (ln 9 − ln 3)/2 = (ln 3)/2.
- Simplifier trop vite une fraction à l'infini en oubliant les signes : (4x³ − x)/(2 − 8x³ + x²) tend vers 4/(−8) = −1/2.
À retenir
On remplace d'abord ; si c'est indéterminé : factoriser, multiplier par le conjugué, garder les termes dominants, ou utiliser une limite usuelle ; et 1^∞ donne e^(lim v(u − 1)).