Les coniques (parabole, ellipse, hyperbole) sont les courbes qu'on obtient en coupant un cône par un plan. On les rencontre partout : la trajectoire d'un ballon est une parabole, l'orbite de la Terre une ellipse. À l'Exetat, on demande de reconnaître une conique et de trouver son sommet, son centre, ses foyers ou sa directrice.
L'essentiel
- Pour reconnaître Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, on calcule B² − 4AC. Négatif : genre ellipse (ellipse, cercle, un point ou rien). Nul : genre parabole (parabole ou deux droites parallèles). Positif : genre hyperbole (hyperbole ou deux droites sécantes).
- Cas dégénérés : si le polynôme se factorise en un produit de deux facteurs du premier degré, ce sont deux droites. Exemple : x² − y² + 2y − 1 = x² − (y − 1)² = (x − y + 1)(x + y − 1). Pour (ax + by)² + k(ax + by) + m = 0, ce sont deux droites parallèles (si les solutions sont réelles).
- Sans terme en xy, on complète les carrés pour trouver le centre ou le sommet : 4x² − 16x = 4(x − 2)² − 16. Exemple : x² + y² + 2x − 4y + 9 = 0 devient (x + 1)² + (y − 2)² = −4, impossible : c'est l'ensemble vide.
- Parabole y² = 2px : sommet O, foyer (p/2 ; 0), directrice x = −p/2. Parabole x² = 2py : foyer (0 ; p/2), directrice y = −p/2. Le foyer est toujours du côté où la parabole s'ouvre. Une parabole translatée (y − β)² = 2p(x − α) a pour sommet (α ; β).
- Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 avec a > b : sommets (±a ; 0) et (0 ; ±b), foyers (±c ; 0) avec c² = a² − b², excentricité e = c/a < 1. Si b > a, le grand axe est vertical et c² = b² − a².
- Hyperbole x²/a² − y²/b² = 1 : sommets (±a ; 0), foyers (±c ; 0) avec c² = a² + b², asymptotes y = ±(b/a)x, axe transverse de longueur 2a, axe conjugué de longueur 2b, excentricité e = c/a > 1.
- Parabole avec terme en xy, du type (ax + by)² + Dx + Ey + F = 0 : on écrit (ax + by + λ)² = (reste du premier degré) en choisissant λ pour que les deux droites ax + by + λ = 0 et « reste = 0 » soient perpendiculaires. La première est l'axe, la seconde la tangente au sommet, et le sommet est leur intersection.
Les formules
- Classification
- B² − 4AC < 0 : ellipse ; = 0 : parabole ; > 0 : hyperbole
- ou leurs cas dégénérés
- Parabole
- y² = 2px : foyer (p/2 ; 0), directrice x = −p/2 ; x² = 2py : foyer (0 ; p/2), directrice y = −p/2
- Ellipse
- x²/a² + y²/b² = 1 (a > b) : c² = a² − b², foyers (±c ; 0), e = c/a
- Hyperbole
- x²/a² − y²/b² = 1 : c² = a² + b², foyers (±c ; 0), asymptotes y = ±(b/a)x
- Compléter le carré
- x² + kx = (x + k/2)² − k²/4
La méthode
- 1Calcule B² − 4AC pour connaître le genre de la conique.
- 2S'il y a un terme en xy, teste d'abord une factorisation (cas des deux droites) ; pour une parabole, utilise la méthode (ax + by + λ)².
- 3Sinon, regroupe les termes en x et en y, complète les carrés, et fais passer la constante à droite.
- 4Divise pour obtenir 1 à droite (ellipse, hyperbole) ou isole le carré (parabole) : c'est l'équation réduite.
- 5Lis le centre ou le sommet (α ; β), puis a, b, c ou p, et déduis les foyers, sommets, directrice ou asymptotes en ajoutant le décalage (α ; β).
Un exemple résolu
Identifie la conique x² + 4y² + 4x − 8y − 8 = 0 et donne son centre, ses foyers et son excentricité.
- 1.A = 1, B = 0, C = 4 : B² − 4AC = −16 < 0, genre ellipse.
- 2.On complète les carrés : x² + 4x = (x + 2)² − 4 et 4y² − 8y = 4(y² − 2y) = 4(y − 1)² − 4.
- 3.L'équation devient (x + 2)² − 4 + 4(y − 1)² − 4 − 8 = 0, soit (x + 2)² + 4(y − 1)² = 16.
- 4.On divise par 16 : (x + 2)²/16 + (y − 1)²/4 = 1. C'est une ellipse réelle de centre (−2 ; 1).
- 5.a² = 16 et b² = 4, donc a = 4 et b = 2 ; le grand axe est horizontal.
- 6.c² = a² − b² = 16 − 4 = 12, donc c = 2√3. Foyers : (−2 ± 2√3 ; 1).
- 7.Excentricité : e = c/a = 2√3/4 = √3/2, environ 0,87 (bien inférieure à 1).
Réponse : Ellipse de centre (−2 ; 1), de foyers (−2 + 2√3 ; 1) et (−2 − 2√3 ; 1), d'excentricité √3/2.
Les pièges à éviter
- Pour le foyer d'une parabole, oublier de diviser par 2 : 5x² − 2y = 0 donne x² = (2/5)y, donc 2p = 2/5, p = 1/5 et le foyer est (0 ; 1/10).
- Utiliser c² = a² − b² pour une hyperbole : c'est c² = a² + b². Pour 9x² − 16y² = 144, soit x²/16 − y²/9 = 1, on a c = 5.
- Oublier de multiplier la correction quand on complète un carré avec un coefficient : 9y² + 36y = 9(y + 2)² − 36, pas − 4.
- Conclure « hyperbole » dès que B² − 4AC > 0 sans tester la factorisation : 2x² + xy − y² + x + 4y − 3 = 0 représente deux droites sécantes.
- Oublier de décaler les foyers du centre (α ; β) après avoir trouvé c.
À retenir
B² − 4AC donne le genre ; on complète les carrés pour l'équation réduite ; ellipse c² = a² − b², hyperbole c² = a² + b², parabole y² = 2px de foyer (p/2 ; 0).