Une loi de composition interne est une nouvelle « opération » inventée sur un ensemble, comme a ∗ b = a + b + 3. L'Exetat demande presque toujours son élément neutre ou le symétrique d'un nombre : deux petites équations à résoudre.
L'essentiel
- Une loi ∗ est interne sur un ensemble E si, pour tous a et b de E, le résultat a ∗ b reste dans E. C'est une règle de calcul : on remplace a et b par les valeurs données dans la formule.
- L'élément neutre e est le nombre qui « ne change rien » : a ∗ e = e ∗ a = a pour tout a. Pour l'addition ordinaire c'est 0, pour la multiplication c'est 1, mais pour une loi inventée il faut le calculer.
- Le symétrique a′ de a est le nombre qui « ramène au neutre » : a ∗ a′ = a′ ∗ a = e. Il faut donc toujours connaître e AVANT de chercher un symétrique.
- La loi est commutative si a ∗ b = b ∗ a, et associative si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Quand la loi est commutative, une seule équation suffit pour le neutre et pour le symétrique.
- Pour une loi sur des couples, comme (x ; y) ⊥ (x′ ; y′) = (xx′ ; xy′ + y), on écrit l'égalité des deux composantes séparément : on obtient deux équations simples.
- Un ensemble muni d'une loi associative, avec un neutre et où chaque élément a un symétrique, s'appelle un groupe. Si la loi est en plus commutative, c'est un groupe commutatif (ou abélien).
Les formules
- Élément neutre
- a ∗ e = e ∗ a = a pour tout a de E
- on résout en e, le résultat ne doit pas dépendre de a
- Symétrique de a
- a ∗ a′ = a′ ∗ a = e
- on résout en a′, avec e déjà connu
- Symétrique pour une loi sur couples
- (x ; y) ⊥ (x′ ; y′) = (1 ; 0) donne xx′ = 1 et xy′ + y = 0
- exemple avec le neutre (1 ; 0), d'où (x′ ; y′) = (1/x ; −y/x)
La méthode
- 1Lis la loi et recopie-la avec des lettres quelconques : a ∗ b = …
- 2Si le neutre n'est pas donné, écris a ∗ e = a, développe, puis isole e : il doit rester un nombre fixe.
- 3Vérifie e sur un exemple simple (par exemple a = 0 ou a = 1).
- 4Pour le symétrique d'un nombre donné k, écris k ∗ a′ = e avec la valeur de e, et résous cette équation du premier degré en a′.
- 5Vérifie en recalculant k ∗ a′ : tu dois retrouver e.
- 6Pour un calcul du type (3 ∘ 1) ∘ m = m ∘ 2, calcule d'abord la parenthèse avec des nombres, puis écris les deux membres en fonction de m et résous.
Un exemple résolu
Dans E = ℝ ∖ {1}, on définit la loi ∗ par x ∗ y = xy − x − y + 2. Détermine l'élément neutre, puis le symétrique de 3.
- 1.La loi est commutative, car xy − x − y + 2 ne change pas si on échange x et y. Une seule équation suffit.
- 2.Neutre : x ∗ e = x s'écrit xe − x − e + 2 = x.
- 3.On regroupe les termes en e : xe − e = 2x − 2, donc e(x − 1) = 2(x − 1).
- 4.Comme x ≠ 1, on divise par (x − 1) : e = 2.
- 5.Symétrique de 3 : 3 ∗ y = 2 s'écrit 3y − 3 − y + 2 = 2.
- 6.On simplifie : 2y − 1 = 2, donc 2y = 3 et y = 3/2.
- 7.Vérification : 3 ∗ 3/2 = 4,5 − 3 − 1,5 + 2 = 2. On retrouve bien le neutre.
Réponse : L'élément neutre est 2 et le symétrique de 3 est 3/2.
Les pièges à éviter
- Écrire k ∗ a′ = 0 ou k ∗ a′ = 1 par réflexe : le symétrique ramène au neutre de LA loi étudiée. Pour a ∗ b = a + b + 3, le neutre est −3, donc le symétrique de 2 vérifie 2 + b + 3 = −3, soit b = −8.
- Confondre symétrique et inverse : pour a ∗ b = 2ab, le neutre est 1/2 et le symétrique de 4 vérifie 8b = 1/2, soit 1/16, et non 1/4.
- Oublier de vérifier que le résultat appartient à l'ensemble E (par exemple qu'il n'est pas la valeur exclue).
- Pour une loi sur couples, mélanger les deux composantes : traite la première, puis la seconde, en remplaçant ce que tu viens de trouver.
À retenir
D'abord le neutre (a ∗ e = a), ensuite le symétrique (a ∗ a′ = e) : on résout chaque fois une équation simple, puis on vérifie.